Aloha :)
Setze \(f(x,y)=|x|+|y|\) und betrachte die Symmetrie$$f(\pm x,\pm y)=|\pm x|+|\pm y|=|x|+|y|=f(x,y)$$Du brauchst zur Berechnung des Integrals also nur den Fall \(x,y\ge0\) zu betrachten und das Ergebnis mit 4 zu multiplizieren:
$$I=\int\limits_{x^2+y^2\le1}\left(|x|+|y|\right)\,df=4\!\!\!\int\limits_{\stackrel{x^2+y^2\le1}{x,y\ge0}}\left(x+y\right)\,df$$Wegen \(x^2+y^2\le1\) und \(x,y\ge0\) muss bei fest gewähltem \(x\in[0|1]\) unser \(y\in[0|\sqrt{1-x^2}]\) liegen. Weil wir zuerst \(x\) wählen, ist die Obergrenze von \(y\) noch von \(x\) abhängig. Bei der Integration müssen wir also zuerst über \(y\) für das festgehaltene \(x\) und anschließend über \(x\) integrieren:
$$I=4\int\limits_0^1dx\int\limits_0^{\sqrt{1-x^2}}\left(x+y\right)dy=4\int\limits_0^1dx\left[xy+\frac{y^2}{2}\right]_{y=0}^{\sqrt{1-x^2}}$$$$\phantom{I}=4\int\limits_0^1\left(x\sqrt{1-x^2}+\frac{1-x^2}{2}\right)dx=4\left[-\frac{1}{3}\left(1-x^2\right)^{3/2}+\frac{x}{2}-\frac{x^3}{6}\right]_0^1$$$$\phantom{I}=4\left[\left(0+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)-\left(-\frac{1}{3}+0+0\right)\right]=4\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)=\frac{8}{3}$$Alternativ könntest du für die Integration auch zu Polarkoordinaten wechseln. Ich weiß aber nicht, ob ihr das schon besprochen habt.
