Aufgabe:
Es wird die Diedergruppe (D4,◦), d.h. die Menge der Symmetrieabbildungen des Quadrates mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen, betrachtet.
Geben Sie für einen nichttrivialen Normalteiler N der Ordnung 2 und einen der Ordnung 4 alle Elemente der Faktorgruppe D4/N an, und stellen Sie die zugehörige Gruppentafel auf. Zu welcher bekannten Gruppe ist (D4/N,◦) isomorph?
Problem/Ansatz:
Mögliche Abbildungen der Ecken des Quadrates (im Uhrzeigersinn):
(1234) = d1
(1432)= d2
(13)(24) =d3
(12)(34) =s1
(14)(23) =s2
(13) =s3
(24)=s4
|D4|= |{id, d1,d2,d3,s1,s2,s3,s4}| =8
Normalteiler sind {id, D4, {id,d1,d2,d3},{id,d2,s1,s2}, {id,d2,s3,s4}, {id,d2}}
also die trivialen Normalteiler id und D4 und Untergruppen der Ordnung 1/2* |D4| =4
Die Faktorgruppe haben wir so definiert:
D4/Normalteiler := {dN|d∈D4}
Wenn ich jetzt jedes Element von D4 mit zB. dem Normalteiler {id,d2} verknüpfe um die Faktorgruppe zu erhalten komme ich auf zu viele Elemente und komische Sachen.
LG
Würde mich freuen wenn jemand Interesse an der Aufgabe hat :)
