Aloha :)
Du kannst jede Normalverteilung mittels der Transformationz : =σx−μauf eine Standard-Normalverteilung Φ(z) mit Erwartungsert 0 und Standardabweichung 1 zurückführen. Die Funktion Φ(z) ist tabelliert und kann von guten Taschenrechnern berechnet werden. Φ(z) ist die Wahrscheinlichkeit, mit der eine standard-normalverteilte Zufallsvariable Z einen Wert ≤z annimmt, d.h.Φ(z)=P(Z≤z)Damit gehen wir nun an dein Problem heran:
P(X<50)=0,27P(X>52)=1−P(X≤52)=0,13⇔P(X≤52)=0,87Wir tun so als würden wir den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X kennen und führen die Transformation von oben durch:
0,27=P(X<50)=Φ(σ50−μ);0,87=P(X≤52)=Φ(σ52−μ)Nun nutzen wir die Umkehrfunktion Φ−1, um μ und σ zu extrahieren:
Φ−1(0,27)=σ50−μ;Φ−1(0,87)=σ52−μ−0,612813=σ50−μ;1,126391=σ52−μDas führt uns zu dem kleinen Gleichungssystem:
−0,612813σ1,126391σ++μμ==5052⇒1,739204σ=2⇒σ=1,149951Damit haben wir folgende Lösung:μ≈50,7047mm;σ≈1,1500mm