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Aufgabe:

Der Durchmesser von X von serienmäßig gefertigten Kugeln sei normalverteilt.

Der Erwartungswert μ und die Standardabweichung δ von X werden mit Hilfe des folgenden Experiments geschätzt:

Man nimmt ein Sieb A mit Löchern vom Durchmesser 52mm sowie ein Sieb B mit Löchern vom Durchmesser 52mm und beobachtet, dass 27% der Kugeln durch Sieb A fallen während 13% von Sieb B aufgehalten werden.

Bestimmen Sie Schätzwerte für die Parameter μ und δ der Verteilung X

Problem/Ansatz:

Wir haben folgende Wahrscheinlichkeiten:

P(X < 50mm) = 0.27

P(X > 52mm) = 0.13

Weiter weiss ich leider nicht :,D

Vielen Dank!

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Aloha :)

Du kannst jede Normalverteilung mittels der Transformationz : =xμσz:=\frac{x-\mu}{\sigma}auf eine Standard-Normalverteilung Φ(z)\Phi(z) mit Erwartungsert 00 und Standardabweichung 11 zurückführen. Die Funktion Φ(z)\Phi(z) ist tabelliert und kann von guten Taschenrechnern berechnet werden. Φ(z)\Phi(z) ist die Wahrscheinlichkeit, mit der eine standard-normalverteilte Zufallsvariable ZZ einen Wert z\le z annimmt, d.h.Φ(z)=P(Zz)\Phi(z)=P(Z\le z)Damit gehen wir nun an dein Problem heran:

P(X<50)=0,27P(X<50)=0,27P(X>52)=1P(X52)=0,13P(X52)=0,87P(X>52)=1-P(X\le52)=0,13\quad\Leftrightarrow\quad P(X\le52)=0,87Wir tun so als würden wir den Erwartungswert μ\mu und die Standardabweichung σ\sigma von XX kennen und führen die Transformation von oben durch:

0,27=P(X<50)=Φ(50μσ);0,87=P(X52)=Φ(52μσ)0,27=P(X<50)=\Phi\left(\frac{50-\mu}{\sigma}\right)\quad;\quad0,87=P(X\le52)=\Phi\left(\frac{52-\mu}{\sigma}\right)Nun nutzen wir die Umkehrfunktion Φ1\Phi^{-1}, um μ\mu und σ\sigma zu extrahieren:

Φ1(0,27)=50μσ;Φ1(0,87)=52μσ\Phi^{-1}(0,27)=\frac{50-\mu}{\sigma}\quad;\quad\Phi^{-1}(0,87)=\frac{52-\mu}{\sigma}0,612813=50μσ;1,126391=52μσ-0,612813=\frac{50-\mu}{\sigma}\quad;\quad1,126391=\frac{52-\mu}{\sigma}Das führt uns zu dem kleinen Gleichungssystem:

0,612813σ+μ=501,126391σ+μ=52        1,739204σ=2        σ=1,149951\begin{array}{r}-0,612813\sigma&+&\mu&=&50\\1,126391\sigma&+&\mu&=&52\end{array}\;\;\Rightarrow\;\;1,739204\sigma=2\;\;\Rightarrow\;\;\sigma=1,149951Damit haben wir folgende Lösung:μ50,7047mm;σ1,1500mm\mu\approx50,7047\,mm\quad;\quad\sigma\approx1,1500\,mm

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