Was ist falsch an meiner Rechnung?

Question

Hi, ich komme gerade bei dieser Aufgabe nicht so ganz weiter:

Wir betrachten R^3 mit dem Standardskalarprodukt. Seien x=(1,-1,0)^T und y=(1,1,-1)^T und W=<x,y>.                     Sei w=(-1,-2,-1)^T und sei w=u+v, wobei u aus W und v aus W⊥. Berechnen sie u und v.

Ich habe jetzt diese Gleichungen aufgestellt:

Da+be+cf=0 (Weil das Skalarprodukt der beiden Vektoren ja 0 sein muss)

a+d=-1

b+e=-2

c+f=-1

(Wegen w=u+v)

Jetzt komme ich aber allein durch diese Gleichungen nicht wirklich weiter, ich weiß allerdings nicht, welche Voraussetzungen ich noch mit einbringen muss, damit etwas sinnvollen herauskommt.

Ich bin mir aber auch unsicher, inwiefern die genaue Beschreibung von W mit x und y eine Rolle spielt, denn die habe ich ja ganz außen vor gelassen. Reicht es nicht zu wissen, dass u und v orthogonal zueinander stehen, dadurch dass sie einmal aus W und einmal aus W⊥ stammen?

Answer 1

Ergänze die aus x und y bestehende Basis von W durch einen Vektor z aus W⊥zu einer Basis von R^3

und stelle w mit dieser Basis dar. 

Comments

Hi, danke mathef für deine Antwort:) Es tut mir leid, falls ich mich jetzt extrem dumm anstelle, aber was bringt mir diese Ergänzung.

Ich hoffe man versteht was ich meine, aber Habe ich nicht schon in meiner Herangehensweise verwendet, dass die Vektoren aus dem R^3 stammen?

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(1,-1,0)T und y=(1,1,-1)T u

Senkrecht zu x und y ist ein Vektor z = (a,b,c)^T wenn gilt

(wegen Skalarprodukt = 0)

a-b=0 und a+b-c= 0

<=> a = b und  c = 2b

also z.B.  z = ( 1,1,2)^T.

Dann löse das Gleichungssystem

r*x + s*y + t*z =  w

Ich bekomme da r=1/2   s=-2/3  und t=-5/6

somit gilt

(1/2)*x + (-2/3)*y + (-5/6) *z =  w

und die gesuchten Vektoren u und v sind

u=(1/2)*x + (-2/3)*y und v = (-5/6) *z

Answer 2

Hallo

 1. musst du doch den Vektor u der senkrecht auf x und y steht finden, also u1=(a,b,c) und u1*(1,-1,0)=0 und u*(1,1,-1)=0

wenn du den hast dann α*u1+β*x+γ*y=w, dann ist β*x+γ*y=v und α*u1=v

die Gleichung, die du aufgeschrieben hast verstehe ich nicht, die hat zu viele mir unbekannte Buchstaben  wenn das das Skalarprodukt von 2 Vektoren sein soll, hast du ja nicht die gegebenen x,y  benutzt.  in W und u in W⊥

Gruß lul