Schnittwinkel linearer Funktionen - Herleitung Formel

Question

Liebe Lounge,

wenn sich zwei lineare Funktionen schneiden entstehen jeweils zwei gleiche Schnittwinkel. Ich interessiere mich für das Paar, welches kleiner gleich 90° ist.

Jetzt habe ich zwei Formeln zur Berechnung gefunden (damit meine ich nicht: gamma= I alpha-beta I oder gamma = 180° - I alpha- beta I  . Diese Berechnungsmethode ist klar.

Möglichkeit 1: tan(gamma) =  \( \frac{m1-m2}{1+m1m2} \)

Möglichkeit 2: tan(gamma)= I \( \frac{m1-m2}{1+m1m2} \) I

Nun weiß ich auch, dass die Herleitung über die Theoreme der trigonometrischen Funktionen erfolgt. Was ich allerdings nur bedingt nachvollziehen kann ist, was der Betrag macht. Ich würde vermuten, es hängt mit dem arcustan zusammen, welcher ja gerade für x größer gleich null Winkel zwischen 0 und 90° herausgibt, die wir ja haben möchten (und keine negativen Winkel).

Stimmt das? Nichtsdestotrotz würde mich eine Schritt für Schritt Herleitung sehr freuen.

Ich wünsche einen schönen Tag!

Kombinatrix

Answer 1

Schau mal hier:

http://mathenexus.zum.de/html/analysis/funktionen_lineare/weiterfuehrendes/LinFkt_Schnittwinkel.htm

Answer 2

Wenn \(m_1-m_2<0\) wird, ist der Tangens negativ und der Schnittwinkel größer als 90°. Da nur der kleinere Winkel gesucht ist, nimmt man in dem Fall den Betrag.

Ich habe die Formel gerade mit Vektoren hergeleitet.

$$ \vec u_1=\begin{pmatrix}1\\m_1\end{pmatrix}~~~;~~~ \vec u_2=\begin{pmatrix}1\\m_2\end{pmatrix}$$

$$ \cos\gamma=\frac{\vec u_1\circ\vec u_2}{u_1\cdot u_2}=\frac{1+m_1m_2}{\sqrt{(1+m1^2)(1+m_2)^2}}$$

$$ \sin^2\gamma=1-\cos^2\gamma=...=\frac{(m_1-m_2)^2}{(1+m_1^2)(1+m_2^2)}$$

$$ \sin\gamma=\frac{m_1-m_2}{\sqrt{(1+m_1^2)(1+m_2^2)}}$$

$$\tan\gamma=\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}$$