Bestimmen Sie die Funktionsgleichung für die Gesamtkosten K(x)

Question

Aufgabe:

In einem Betrieb zur Herstellung von Elektroteilen wird der Verlauf der Gesamtkosten K durch eine Funktion dritten Grades bestimmt. In der folgenden Wertetabelle sind die Gesamtkosten für eine bestimmte Produktionsmenge angegeben.

ME x      0   2   4   6
GE K(x) 14 40 50 92

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung für die Gesamtkosten K.
Notieren Sie zunächst die Gleichungen mit den Koeffizienten a, b, c und d.
Bestätigen Sie folgendes Gleichungssystem und lösen Sie es.

4a + 2b + c = 13
16a + 4b + c = 9
36a + 6b + c = 13

Problem/Ansatz:

Wie bestimme ich die Funktionsgleichung für die Kostenfunktion K(x)?

Comments

Das hat man Dir ja in der Aufgabenstellung schon gesagt:

Notieren Sie zunächst die Gleichungen mit den Koeffizienten a, b, c und d.

Damit sind vier Gleichungen für die vier Punkte gemeint

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Ich weiß wohl, dass ax³ + bx² + cx + d = y

Aber was nun?

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Tue das, was ich Dir hier vor 5 Minuten geschrieben habe.

Bei der ersten Gleichung: x=0, y=14

Bei der zweiten Gleichung: x=2, y=40

usw.

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Und wie stelle ich die Gleichungen nochmal auf?

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erste Gleichung: a*0³ + b*0² + c*0 + d = 14

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Ah, also so wären dann die 4 Gleichungen: https://lucawieczorek.de/img/IMG_0677.HEIC

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Weitermachen.

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Was wird hier denn mit "Bestätigen Sie folgendes Gleichungssystem" gemeint?

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Dass Du bestätigen sollst, ob es stimmt. Aber das geht erst, wenn Du die Funktionsgleichung mit den vier Koeffizienten hast.

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Und wie löse ich nochmal ein Gleichungssystem?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Lineares_Gleichungssystem#Lösungsverfahren

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Irgendwie verstehe ich nicht, wie ich vorgehen soll...

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Wenn Du die Webseite nicht verstehst, dann mach es so, wie in der Schule gelernt.

Kontrolllösung: a = 1, b = -8, c = 25, d = 14

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Irgendwie verstehe ich nicht, wie ich vorgehen soll..

Du hast die x- und y-Werte von vier Punkten gegeben. Diese setzt du in die allgemeine Ausgangsgleichung ein und erhältst dann die vier Gleichungen wie auf dem Foto, dass du eingestellt hast.

1. Gleichung: $$a\cdot 0^3-b\cdot 0^2+c\cdot 0 +d=14\Longrightarrow \boxed{d=14}$$

Also setzt du in den nächsten drei Gleichungen für d "14" ein.

1. $$f(2)=40\Longrightarrow a\cdot 2^3-b\cdot 2^2+c\cdot 2 +d=40\\ 8a+4b+2c+14=40\quad |:2\\ 4a+2b+ c+7=20\qquad|-7\\ 4a+2b+c=13$$

So verfährst du auch mit f(4) = 50 und f(6) = 92. Damit erhältst du das von dir angegebene Gleichungssystem. Das kannst du z.B. so lösen:

1. Gleichung mit (-4) multiplizieren und zur 2. Gleichung addieren. Ergebnis:

\(-4b-3c=-43\)

Danach 1. Gleichung mit (-9) multiplizieren und zur 3. Gleichung addieren. Ergebnis:

\(-12b-8c=-104\)

Jetzt hast du nur noch zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Wählen wir wieder das Additionsverfahren und multiplizieren die 1. Gleichung mit (-3) und addieren sie zur zweiten. Dann erhältst du  \(\boxed{c=25}\)

Das Ergebnis setzt du in die anderen Gleichungen ein, um noch a und b zu ermitteln.

Answer 1

Servus :)

Du weißt, dass die gesuchte Funktion eine 3. Grades ist, also der Form \(ax^3+bx^2+cx+d=y\). Wir haben mit der von dir gegebenen Tabelle die Möglichkeit ein Gleichungssystem aufzustellen:

x=	0	2	4	6
K(x)=y=	14	40	50	92

\([1]:a\cdot 0^3 + b\cdot 0^2 + c\cdot 0 + d=14\)
\([2]:a\cdot 2^3 + b\cdot 2^2 + c\cdot 2 + d=40\)
\([3]:a\cdot 4^3 + b\cdot 4^2 + c\cdot 4 + d=50\)
\([4]:a\cdot 6^3 + b\cdot 6^2 + c\cdot 6 + d=92\)

Jetzt haben wir ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 unbekannten. Das heißt, wir sollten ein eindeutiges Ergebnis bekommen.

Die Erste Gleichung ist relativ offensichtlich, da alle Variablen, die mit 0 multipliziert werden, "wegfallen". Die restlichen Gleichungen rechne ich im nächsten Schritt aus und setzte \(d=14\) schon mal ein:
\([1]:d=14\)
\([2]:8a + 4b + 2c + 14=40\)
\([3]:64a + 16b + 4c + 14=50\)
\([4]:216a + 36b + 6c + 14=92\)

Nun stelle ich Gleichung \([2]\) nach \(c\) um:
\(c=\frac{26-8a-4b}{2}\)

Dieses \(c\) setze ich jetzt in Gleichung \([3]\) ein und stelle sie nach \(b\) um:
\([3]:64a + 16b + 4(\frac{26-8a-4b}{2}) + 14=50 \)
\(64a + 16b + (52-16a-8b) + 14=50\)
\(64a + 16b + 52-16a-8b + 14=50\)
\(48a + 8b + 66=50\)

\(b=\frac{50-66-48a}{8}=\frac{-16-48a}{8}=-2-6a\)

Nun setzte ich die Werte für \(b\), \(c\) und \(d\) in die Gleichung \([4]\) ein.
\([4]:216a+36(-2-6a)+6(\frac{26-8a-4b}{2})=92\)

Auch hier bleibt noch ein \(b\) übrig, welches ich jetzt nochmals einsetze:
\([4]:216a-72-216a+6(\frac{26-8a-4(-2-6a)}{2})\)
\(=216a-72-216a+6(14-4a+4+12a)\)
\(=216a-72-216a+84-24a+24+78a\)
\(=54a+36=92\)
\(\Leftrightarrow a=\frac{92-36}{54}=\frac{28}{27}\)

Nun setze ich den Wert für \(a\) in die Geichung für \(b\) ein.
\(b=-2-6a=-2-6(\frac{28}{27})=-2-\frac{168}{27}=\frac{222}{27}=\frac{74}{9}\)

Und zuletzt errechne ich mit der selben Methode \(c\):
\(c=\frac{26-8a-4b}{2}=\frac{26-8(\frac{28}{27})-4(\frac{74}{9})}{2}=\frac{26-(\frac{224}{27})-(\frac{296}{9})}{2}=-\frac{205}{27}\)

Somit nehmen wir diese werte für die fertige Funktion, welche nun wie folgt lautet:
\(K(x)=\frac{28}{27}x^3+\frac{74}{9}x^2+-\frac{205}{27}x+14\)

Bitte rechne auf jeden Fall nochmal nach, ich kann nicht garantieren, dass ich keine Rechenfehler gemacht habe.
LG

Comments

Bitte rechne auf jeden Fall nochmal nach, ich kann nicht garantieren, dass ich keine Rechenfehler gemacht habe.

Das würde sich ja leicht prüfen lassen indem man die Funktion anhand den gegebenen Bedingungen prüft.

döschwo hatte allerdings schon vor vier stunden die richtige Lösung heraus. Die hast du vermutlich aber nicht gelesen.

Answer 2

Nutze evtl.: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Gleichungssystem

d = 14
8a + 4b + 2c + d = 40
64a + 16b + 4c + d = 50
216a + 36b + 6c + d = 92

Zuerst d einsetzen und vereinfachen

8a + 4b + 2c = 26
64a + 16b + 4c = 36
216a + 36b + 6c = 78

Ab da kann dann auch ein Tool wie Photomath helfen

https://photomath.net/s/pYAqz2

Comments

Ja, PhotoMath und dieser Onlinerechner sind tolle Tools. Denen zufolge habe ich doch irgendwo einen Rechenfehler gemacht :(

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Da Photomath sogar einen Lösungsweg angibt kannst du eventuell deinen Fehler finden.

Du machst dir die Arbeit allerdings auch unnötig schwer, wenn du das Einsetzungsverfahren statt dem Additionsverfahren bzw. Gauss-Verfahren verwendest.

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Ich wusste leider nicht, welches Matheniveau der Fragesteller hat. Ansonsten hast du natürlich recht.