Alle Punkte auf einer Fläche bestimmen deren Abstand zum Nullpunkt minimal ist?

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Punkte $P \in \mathbb{R}^{3}$ auf der Fläche
$$S=\left\{\vec{x}=\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3}: z=\frac{1}{x y}\right\}$$
deren / Abstand zum Nullpunkt $O=(0,0,0) \in \mathbb{R}^{3}$ minimal ist.

Problem/Ansatz:

Ich finde zu dieser Aufgabe leider überhaupt keinen Ansatz, ich weiß dass ich eine Haupt- und Nebenbedingung aufstellen muss, aber selbst das fällt mir schwer. Ein Lösungsweg wäre super

Answer 1

Aloha :)

Anstatt den Abstand $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ zu minimieren, können wir auch das Quadrat des Abstandes minimieren, das spart uns das Wurzelziehen. Die Nebenbedingung $z=\frac{1}{xy}$ können wir durch Multiplikation beider Seiten mit $xy$ zu $xyz=1$ bzw. $xyz-1=0$ umformen. Wir suchen also das Minimum der folgneden Lagrange-Funktion:$$L(x,y,z,\lambda)=x^2+y^2+z^2+\lambda\cdot(xyz-1)$$Wie üblich müssen wir dazu alle partiellen Ableitungen gleich $0$ setzen:

$$\left.\begin{array}{c}0&=&\frac{\partial L}{\partial x}&=&2x+\lambda yz\\0&=&\frac{\partial L}{\partial y}&=&2y+\lambda xz\\0&=&\frac{\partial L}{\partial z}&=&2z+\lambda xy\\0&=&\frac{\partial L}{\partial \lambda}&=&xyz-1\end{array}\;\right|\begin{array}{l}\phantom{\frac{\partial L}{\partial x}}\cdot x\\\phantom{\frac{\partial L}{\partial x}}\cdot y\\\phantom{\frac{\partial L}{\partial x}}\cdot z\\\phantom{\frac{\partial L}{\partial x}}+1\end{array}$$$$\begin{array}{lcc}\lambda xyz&=&-2x^2\\\lambda xyz&=&-2y^2\\\lambda xyz&=&-2z^2\\xyz&=&1\end{array}$$Wir dividieren die erste Gleichung durch die zweite sowie die zweite durch die dritte:

$$1=\frac{\lambda xyz}{\lambda xyz}=\frac{-2x^2}{-2y^2}\quad\rightarrow\quad\frac{x^2}{y^2}=1\quad\Rightarrow\quad x^2=y^2$$$$1=\frac{\lambda xyz}{\lambda xyz}=\frac{-2y^2}{-2z^2}\quad\rightarrow\quad\frac{y^2}{z^2}=1\quad\Rightarrow\quad y^2=z^2$$Damit haben wir folgende Bedingung an das Minimum:$$x^2=y^2=z^2\quad;\quad xyz=1$$Daraus können wir weiter folgern:$$1=1^2=(xyz)^2=x^2y^2z^2=x^2x^2x^2=x^6\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm 1$$$$1=1^2=(xyz)^2=x^2y^2z^2=y^2y^2y^2=y^6\quad\Leftrightarrow\quad y=\pm 1$$$$1=1^2=(xyz)^2=x^2y^2z^2=z^2z^2z^2=z^6\quad\Leftrightarrow\quad z=\pm 1$$Jetzt müssen wir noch eine Besonderheit beachten! Die ursprüngliche Nebenbedingung lautet $z=\frac{1}{xy}$. Wir haben zwar theroretisch $8$ Minima gefunden, von denen aber 4 ausscheiden, weil sie die ursprüngliche Bedingung $z=\frac{1}{xy}$ verletzen:$$\left(+1|+1|+1\right)\quad\text{ok}$$$$\left(+1|+1|-1\right)\quad\text{scheidet aus}$$$$\left(+1|-1|+1\right)\quad\text{scheidet aus}$$$$\left(+1|-1|-1\right)\quad\text{ok}$$$$\left(-1|+1|+1\right)\quad\text{scheidet aus}$$$$\left(-1|+1|-1\right)\quad\text{ok}$$$$\left(-1|-1|+1\right)\quad\text{ok}$$$$\left(-1|-1|-1\right)\quad\text{scheidet aus}$$

Comments

Vielen, vielen Dank!

---

Sind das nicht zu viele Punkte?

Der Punkt (1 | 1 | -1) gehört z.B. nicht zu der Fläche oder?

---

Ja, ich hatte das auch gemerkt und schon angepasst.

Trotzdem Danke fürs Aufpassen ;)

---

Wie würde ich denn vorgehen, wenn ich die Punkte mit dem kleinsten Abstand vom Punkt (1,0,0) bestimmen wollen würde?

---

Immer noch mit Lagrange.

---

Immer noch mit Lagrange.

Lagrange wird überbewertet, gerade wenn die Nebenbedingung einfach in die Zielfunktion eingesetzt werden kann.

Meist sollte man Lagrange nehmen wenn man die Nebenbedingung nicht einfach auflösen kann wie bei x² + y² = 5²

Unglücklicherweise legen die Dozenten aber oftmals keinen Wert darauf zu erklären wann was günstig anzuwenden ist.

D.h. auch wenn die Punkte mit minimalem Abstand zum Punkt (1 | 0 | 0) gesucht sind kann man so vorgehen wie ich das auch zum Ursprung gemacht habe.

---

Das habe ich eben versucht, tut mir sehr leid wenn ich komplett inkompetent wirke, aber wie komme ich dann auf meine z-Koordinate wenn ich die Werte für x und y bestimme?

---

Das habe ich eben versucht, tut mir sehr leid wenn ich komplett inkompetent wirke, aber wie komme ich dann auf meine z-Koordinate wenn ich die Werte für x und y bestimme?

Wenn du x und y hast dann gilt doch einfach z = 1/(x·y)

Ist es das was du wissen wolltest? Oder habe ich das falsch verstanden?

Answer 2

d² = [x, y, 1/(x·y)]² = x² + 1/(x²·y²) + y²

(d²)' = [2·x - 2/(x³·y²), 2·y - 2/(x²·y³)] = [0, 0]

Als kritische Stellen erhalte ich damit (x = -1 ∧ y = -1) ∨ (x = -1 ∧ y = 1) ∨ (x = 1 ∧ y = -1) ∨ (x = 1 ∧ y = 1)

Skizze:

 

Answer 3

x²+y²+z² soll minimal werden unter der Bedingung xyz=1

Comments

Wieso xyz=1 ?

---

Von mir aus kannst du das auch weiterhin als z=1/(xy) schreiben.

---

Und wie gehe ich dann weiter vor?

---

Kennst du Herrn Lagrange?

---

Ja, das ist aber leider nirgendwo im Skript vermerkt, die Formel kenne ich, weiß aber nicht wie genau ich einsetzen muss und was ich mit dem z machen muss. Danach sollte ich ja nach x, nach y und nach Lamda ableiten.