Hilfe für Abivorbereitung | Monotonieverhalten von Funktion

Question

Aufgabe:

K(x)=2,5x³-b*x²+28*x+56

Untersuchen Sie rechnerisch, für Welche Werte von b die Funktion monoton steigend ist.

Ich brauche hier dringen Hilfe, komme schon seit geraumer Zeit nicht weiter.

Answer 1

f(x) = 2.5·x³ - b·x² + 28·x + 56

f'(x) = 7.5·x² - 2·b·x + 28 = 0

D = (-2·b)² - 4·7.5·28 ≤ 0 --> -√210 ≤ b ≤ √210

Comments

Vielen Dank, den Wert konnte ich bereits am Graphen ablesen aber wusste nicht wie man diesen ausrechnen soll.

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Könnten Sie vielleicht die Zwischenrechnung erklären? Ich verstehe nicht ganz wie man jetzt auf D kommt und so weiß in welchem Bereich b liegt.

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Von der quadratischen Gleichung

a*x² + b*x + c = 0

ist

D = b² - 4*a*c

die Diskriminante

Die Diskriminante setzt du gleich null und kannst es direkt nach b auflösen.

Answer 2

Die Funktion ist dort monoton steigend, wo ihre erste Ableitung positive Werte annimmt.

Die Funktion ist dort monoton fallend, wo ihre erste Ableitung negative Werte annimmt.

Comments

Ja das weiß ich, aber ich muss das Intervall berechnen in dem die Ableitung positiv ist. Da weiß ich nicht wie ich das machen soll.

Answer 3

Bei Polynomen ist der Leitkoeffizient immer der entscheidene Term für das Verhalten für große Werte von x. Hier ist b nur beim Term x^2. Es ist also egal, wie b gewählt wird, da der Term $2,5\cdot x^3$ der Dominante für große positve/negative Werte von x ist.

Comments

Es geht aber um eine monotone steigung, das heißt die funktion muss durchgehend steigen und die steigung darf niemals kleiner als 0 sein

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Entschuldigung, dann habe ich das übersehen. Dann argumentiere mit der ersten Ableitung. Dann hast du also $K'(x)=7,5x^2-2b*x+28\stackrel{!}{\geq}0$. Bestimme nun b so, sodass diese Ungleichung gilt.

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Richtig wäre wohl  K '(x) ≥ 0

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Habs geändert!