Teilmengen verleichen: Bild und Kern: im(A+B)⊆im(A)+im(B) zeigen?

Question

Hallo,

habt ihr vielleicht eine Idee, wie ich diese Ungleichung zeigen kann? Normalerweise bin ich an solche "Aufgabentypen" immer mit der Dimensionsformel herangegangen, aber damit hab ich bei dieser Aufgabe keine Chance..

im(A+B)⊆im(A)+im(B)

Könntet ihr mir vielleicht einen Tipp geben?

Beste Grüße

Answer 1

im(A+B)⊆im(A)+im(B)

Dann sind ja wohl A und B von V nach W  lin. Abb'en

bzw. deren Matrizen .

Also gilt   y ∈ im(A+B)

==>  Es gibt x aus V mit  (A+B)*x = y

 ==>     Ax + Bx = y

==>  Ax aus im(A) und Bx aus im(B)

also gibt es y1 aus im(A) und y2 aus im (B)

mit  y1 + y2 = y

==>   y aus im(A)+im(B) .  q.e.d.

Comments

Kann ja auch sein, dass eine Abbildung \(f:V\to W\) fixiert wird und \(A,B\) Untervektorräume von \(V\) sind, wobei das linke \(+\) ebenfalls die innere Summe von Untervektorräumen darstellt. So würde ich das rein notationell interpretieren. Deshalb schreibt man als Fragesteller ordentliche Fragen, wenn man ordentliche Antworten will.

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Ist das die Lösung auch für:

Bild(A+B)⊆Bild(A)+Bild(B) ?

Und wie müsste mein Gegenbeispiel für die andere Teilmengeninklusion aussehen?

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im(A+B)⊆im(A)+im(B) und  Bild(A+B)⊆Bild(A)+Bild(B) 

bedeuten beide das gleiche.