Konvergenzradius einer Potenzreihe bestimmen

Question

Hallo !

Bitte euch um Hilfe ich versteh nicht wie ich den Konvergenzradius von Potenzreihen bestimmen kann.

Es handelt sich um das folgende Bsp.

Summe von k=0 bis unendlich (2k + 1)(2x)^2k

Vielleicht könnte mir das jemand verständlich erklären ich hab bis jetzt leider noch nix gefunden was mir geholfen hat :(

Lg

Comments

Was verstehst du denn an

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius

nicht?

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Hallo ich hab mir jetzt online videos angeschaut die mir geholfen haben das besser zu verstehen glaub ich zumindest also der konvergenzradius ist einfach der grenzwert falls einer existiert einfach formuliert oder? Lg

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kann man so nicht sagen. der konvergenzradius gibt an, in welchem intervall die potenzreihe konvergiert.

sie konvergiert im intervall -r <  0 <  r.

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P.S.

ja, ein grenzwert ist das schon, aber von was? ;-) (grenzwert vom quotienten zweier folgenglieder)

unter der erklärung über das intervall -r < 0 < r kann man sich vielleicht etwas mehr vorstellen, das ist geometrisch anschaulich.

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Das ist der Grenzwert von zwei Koeffizienten von zwei aufeinanderfolgenden Folgengliedern a_n / a_n+1 es sind nicht die Folgenglieder selbst.

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das stimmt.
das habe ich sehr salopp, bzw. falsch bzw. halbherzig formuliert.
trotzdem finde ich -r < 0 < r anschaulicher.




(die fragezeichen im bild bedeuten, dass an den randpunkten weitere untersuchungen
notwendig sind.)


wenn du dir unter $r = \lim_{n \to \infty} \left |\frac{a_n}{a_{n+1}} \right |$ mehr vorstellen kannst, dann ist das ja in ordnung.


 

Answer 1

Methode 1:

Sei $f_k(x)=(2k+1)(2x)^{2k}$. Dann gilt$$\left|\frac{f_{k+1}(x)}{f_k(x)}\right|=\frac{(2k+3)(2x)^{2k+2}}{(2k+1)(2x)^{2k}}=\frac{2k+3}{2k+1}\cdot (2x)^2\rightarrow (2x)^2$$für $k\rightarrow \infty$.
Die Forderung $(2x)^2\lt 1$ liefert $|2x|\lt 1$, also Konvergenzradius $R=1/2$

Methode 2:

Hier verwende ich Sätze aus der Theorie der Potenzreihen.

Es sei $y=2x$. Dann ist unsere Reihe $=\sum(2k+1)y^{2k}$.

Gliedweise Integration über $y$ liefert $$\sum y^{2k+1}=y\cdot \sum(y^2)^k=\frac{y}{1-y^2}=\frac{y}{(1+y)(1-y)}$$Da der Konvergenzkreis immer bis zum nächstgelegenen Pol reicht, hat diese Reihe in $y$

den Konvergenzradius 1, also konvergiert sie für $|y|\lt 1$.

Nun ändert gliedweises Integrieren und gliedweises Differenzieren den Konvergenzradius
einer Potenzreihe nicht. Daher konvergiert die gegebene Reihe für
$|2x|=|y|<1$, d..h. $R=1/2$.