Zwei Operationen auf M definieren

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die dreielementige Menge M = {0, 1, 2}. Definieren Sie auf M zwei Operationen
+ und · so, dass (M, +, ·) ein Körper ist. Dabei soll 1 + 1 = 2 und 2 + 2 = 1 sein.

Problem/Ansatz:

Muss ich hier einfach die Eigenschaften eines Körpers definieren? Wie soll 2 + 2 = 1 werden?

Answer 1

Du sollst ja selber Operationen definieren. Die heißen einfach + und * haben aber

mit dem "normalen" + und * nichts zu tun.

Wegen 1 + 1 = 2 und 2 + 2 = 1  ist weder 1 noch 2 das neutrale El. der Addition.

Das muss es aber geben, also ist das die 0 und du hast damit die Addition

schon fast festgelegt:

 +        0      1       2
0        0      1       2
1         1      2     
2         2               1

an die fehlenden Stellen muss jeweils die 0, weil ja jedes El. ein

additives Inverses haben muss.

Musst mal schauen, ob dann auch die Add. assoziativ ist.

Für * ist ja auch schon vieles klar

 +        0      1       2
0         0      0       0
1         0          
2         0

Im Körper muss aber das Distributivgesetz gelten, also muss

1*(1+1) = 1*1 + 1*1    sein, also

1*2      =    1*1  +  1*1    #

wäre nun 1*2=2 (also 1 das neutrale der Mult.) dann

müsste 1*1=1 sein und aus # würde

    2    =   1   +   1    und dass passt zur definierten Addition.

und für 2*2 kannst du ja über (1+1)*2 gehen

  (1+1)*2  = 1*2 + 1*2 = 2 + 2 = 1 .

Also ist 2 das multiplikative Inverse von 2.

So müsste es gehen, genaugenommen musst du dann noch alle

Körperaxiome prüfen.