Berechnen Sie in Abhängigkeit von \( a \in \mathbb{R} \) die Lösungsmenge \( \mathrm{L} \subset \mathbb{R}^{3} \) des LGS
$$ \begin{array}{ccccccc} x & + & 2 y & - & z & = & 1 \\ 2 x & + & (a+6) y & - & z & = & a+3 \\ -x & + & a y & + & (a+1) z & = & a+3 \end{array} $$
Ich erhalte nach der elementaren Umformung diese erweiterte Koeefizientenmatrix.
\( (A, \vec{b}) \sim\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & a+2 & 1 & a+1 \\ 0 & 0 & a-1 & 3\end{array}\right) \)
Nun zu den Rangkriterien:
Sei a=1
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right) $$
Somit: \( \operatorname{rg}(A)=2 \neq 3=\operatorname{rg}(A, \vec{b}), \) damit dann
\( \mathbf{L}=\varnothing \)
Sei nun \( a \neq 1 \)
1. Unterfall \( a=-2 \).
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -3 & 3 \end{array}\right) $$
Da zweite und dritte Zeile äquivalent zueinander sind:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$
Es gilt \( \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A, \vec{b})=2<3, \) also hat das System unendlich viele Lösungen.
Hier meine Frage zum zweiten Unterfall.
Wie komme ich darauf?
Die Lösungsmenge beim zweiten Unterfall soll lauten:
$$ \mathrm{L}=\left\{\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) ; t \in \mathbb{R}\right\} $$
2. \( a \neq1, \) Unterfall \( a \neq-2 . \)
Dann soll gelten:
\( \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A, \vec{b})=3, \) LGS hat genau eine Lösung:
$$ \mathrm{L}=\left\{\left(\frac{-a+6}{a-1}, \frac{a-2}{a-1}, \frac{3}{a-1}\right)^{\mathrm{T}}\right\} $$
