Rangkriterium, LGS mit Parameter

Question

Berechnen Sie in Abhängigkeit von $a \in \mathbb{R}$ die Lösungsmenge $\mathrm{L} \subset \mathbb{R}^{3}$ des LGS

$$\begin{array}{ccccccc} x & + & 2 y & - & z & = & 1 \\ 2 x & + & (a+6) y & - & z & = & a+3 \\ -x & + & a y & + & (a+1) z & = & a+3 \end{array}$$

Ich erhalte nach der elementaren Umformung diese erweiterte Koeefizientenmatrix.

$(A, \vec{b}) \sim\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & a+2 & 1 & a+1 \\ 0 & 0 & a-1 & 3\end{array}\right)$

Nun zu den Rangkriterien:

Sei a=1
$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right)$$
Somit: $\operatorname{rg}(A)=2 \neq 3=\operatorname{rg}(A, \vec{b}),$ damit dann
$\mathbf{L}=\varnothing$

Sei nun $a \neq 1$

1. Unterfall $a=-2$. 
$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -3 & 3 \end{array}\right)$$
Da zweite und dritte Zeile äquivalent zueinander sind:
$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$
Es gilt $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A, \vec{b})=2<3,$ also hat das System unendlich viele Lösungen.

Hier meine Frage zum zweiten Unterfall.

Wie komme ich darauf?

Die Lösungsmenge beim zweiten Unterfall soll lauten:

$$\mathrm{L}=\left\{\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) ; t \in \mathbb{R}\right\}$$

2. $a \neq1,$ Unterfall $a \neq-2 .$

Dann soll gelten:

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A, \vec{b})=3,$ LGS hat genau eine Lösung: 
$$\mathrm{L}=\left\{\left(\frac{-a+6}{a-1}, \frac{a-2}{a-1}, \frac{3}{a-1}\right)^{\mathrm{T}}\right\}$$

Answer 1

Der Fall a=-2 führt auf

$\left(\begin{array}{rrrr}1&2&0&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&0\\\end{array}\right)$

===>

z=-1

x+2y=0

y = t freie Variable

Zu dem von Dir angegebenem Ergebnis

Und Gauß zu Ende gebracht (Rücksubst)

$Á´ \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&\frac{-a + 6}{a - 1}\\0&1&0&\frac{a - 2}{a - 1}\\0&0&1&\frac{3}{a - 1}\\\end{array}\right)$