Hallo,
die Frage ist doch, ob es sich dabei um ein Skalarprodukt handelt. Konsequenter Weise sollte man nun nachschauen, wie 'Skalarprodukt' definiert ist.
Das findest Du z.B. bei Wikipedia - es ist eine Abbildung zweier Vektoren aus einem Vektorraum auf einen Skalar (das ist hier erfüllt) mit den Eigenschaften
- linear in beiden Argumenten
- symmetrisch
- positiv definit
Linear in beiden Argumenten heißt: $$\left< u, k \cdot v \right> = k \cdot \left< u, v\right>$$Einsetzen liefert $$\begin{aligned} \left< u, k \cdot v\right> &= x_1ky_1 - x_1ky_2 - x_2 ky_1 + 3x_2ky_2 \\&= k(x_1y_1 - x_1y_2 - x_2 y_1 + 3x_2y_2) \\ &= k \cdot \left< u, v\right> \end{aligned}$$ Für \(\left< k \cdot u, v \right> = k \cdot \left< u, v\right>\) ist es auch erfüllt.
Symmetrisch heißt $$ \left< u, v\right> = \left< v,u\right>$$prüfe das bitte selber nach. Auch das ist hier erfüllt.
Bleibt noch positiv definit. D.h.: $$\begin{aligned} \left< u, u\right> &\ge 0 \\ \left< u, u\right> &= x_1^2 - 2x_1x_2 + 3x_2^2 \\ &= x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 + 2x_2^2 \\ &= (x_1 - x_2)^2 + 2x_2^2 \\&\ge 0\end{aligned}$$und das ist nur genau dann \(=0\), wenn \(u=\vec 0\) ist.
Folglich handelt es sich hier um ein Skalarprodukt.
