Wie geht man an solche Aufgaben heran? (Skalarprodukt)

Question

könntet ihr mir vielleicht sagen, wie ich an diese Aufgabe herangehen kann? Habe da keinen Ansatz zu...

Überprüfe, ob die folgende Beziehung ein Skalarprodukt im $R^{2}$ darstellt:
$$\langle u, v\rangle=\left\langle\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right\rangle=x_{1} y_{1}-x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}+3 x_{2} y_{2}$$

 mfg

Pizzaboss

Answer 1

Hallo,

die Frage ist doch, ob es sich dabei um ein Skalarprodukt handelt. Konsequenter Weise sollte man nun nachschauen, wie 'Skalarprodukt' definiert ist.

Das findest Du z.B. bei Wikipedia - es ist eine Abbildung zweier Vektoren aus einem Vektorraum auf einen Skalar (das ist hier erfüllt) mit den Eigenschaften

- linear in beiden Argumenten

- symmetrisch

- positiv definit

Linear in beiden Argumenten heißt: $$\left< u, k \cdot v \right> = k \cdot \left< u, v\right>$$Einsetzen liefert $$\begin{aligned} \left< u, k \cdot v\right> &= x_1ky_1 - x_1ky_2 - x_2 ky_1 + 3x_2ky_2 \\&= k(x_1y_1 - x_1y_2 - x_2 y_1 + 3x_2y_2) \\ &= k \cdot \left< u, v\right> \end{aligned}$$ Für $\left< k \cdot u, v \right> = k \cdot \left< u, v\right>$ ist es auch erfüllt.

Symmetrisch heißt $$\left< u, v\right> = \left< v,u\right>$$prüfe das bitte selber nach. Auch das ist hier erfüllt.

Bleibt noch positiv definit. D.h.: $$\begin{aligned} \left< u, u\right> &\ge 0 \\ \left< u, u\right> &= x_1^2 - 2x_1x_2 + 3x_2^2 \\ &= x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 + 2x_2^2 \\ &= (x_1 - x_2)^2 + 2x_2^2 \\&\ge 0\end{aligned}$$und das ist nur genau dann $=0$, wenn $u=\vec 0$ ist.

Folglich handelt es sich hier um ein Skalarprodukt.