Zeigen Sie: Für beliebige Vektoren ... gilt

Question

Zeigen Sie: Für beliebige Vektoren u,v,w ∈ Vⁿ_O mit w⊥u und w⊥v gilt

w ⊥ ( λ₁ · u + λ₂ · V )     ∀ λ₁, λ₂ ∈ ℝ  λ₁, λ₂ ≠ 0

Ich brauche hilfe, wenn mir das jemand bitte ausführlich erklären könnte.

Answer 1

Wegen $$w \perp u \land w \perp v$$ ist $$<w,u> = 0 \land <w,v> = 0$$, also das Skalarprodukt. Wegen der Homogenität des Skalarprodukts ist auch $$<w, \lambda_1 \cdot u> = \lambda_1 \cdot <w,u> = \lambda_1 \cdot 0 = 0$$ und genauso $$<w, \lambda_2 \cdot v> = \lambda_2 \cdot <w,v> = \lambda_2 \cdot 0 = 0$$. Also ist (wegen der Additivität des Skalarproduktes) $$<w, \lambda_1 \cdot u + \lambda_2 \cdot v> = <w, \lambda_1 \cdot u> + <w, \lambda_2 \cdot v> = 0+0 = 0$$, woraus eben auch folgt, dass $$w \perp (\lambda_1 \cdot u + \lambda_2 \cdot v) \quad \quad \quad \square$$.