Aloha :)$$f(x)=\sin x+\cos x$$$$f'(x)=\cos x-\sin x$$$$f''(x)=-\sin x-\cos x=-f(x)$$Die Kandidaten für Extrema finden wir durch Nullsetzen der ersten Ableitung:$$\cos x-\sin x\stackrel{!}{=}0\quad\Leftrightarrow\quad\cos x=\sin x$$Wegen \(\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\) und \(\cos(x-2\pi)=\cos x\) finden wir im Hauptintervall \([0;2\pi[\) zwei Lösungen:$$\cos x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\;\;\Rightarrow\;\;x=\frac{\pi}{2}-x\;\;\Rightarrow\;\;2x=\frac{\pi}{2}\;\;\Rightarrow\;\;x=\frac{\pi}{4}$$$$\cos (x-2\pi)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\;\;\Rightarrow\;\;x-2\pi=\frac{\pi}{2}-x\;\;\Rightarrow\;\;2x=\frac{5\pi}{2}\;\;\Rightarrow\;\;x=\frac{5\pi}{4}$$Um Herauszufinden, wo Maximum und Minimum vorliegt, setzen wir die Kandidaten in die zweite Ableitung ein:$$f''\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}=-\sqrt2<0\;\;\Rightarrow\;\;\text{Max!}$$$$f''\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)-\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}=\sqrt2>0\;\;\Rightarrow\;\;\text{Min!}$$Wegen der \(2\pi\)-Periode der Winkelfunktionen haben wir:
Maxima bei \(\qquad x^\uparrow_n=n\,2\pi+\frac{\pi}{4}\quad;\quad n\in\mathbb{Z}\)
Minima bei \(\qquad x^\downarrow_n=n\,2\pi+\frac{5\pi}{4}\quad;\quad n\in\mathbb{Z}\)
~plot~ sin(x)+cos(x) ; [[-10|10|-1,5|1,5]] ~plot~
