Bestimmtes Integral mit mehreren Variablen

Question

 

wie bestimme ich das bestimmte Integral von (1-z) (1-z) (x-z) dz im Intervall [-1;2] ?

Ich weiß, dass 3x+(3/4) rauskommen muss. 

Comments

(1-z) (1-z) (x-z) kann man ausmultiplizieren. dann lassen sich die summanden einzeln integrieren.

Answer 1

$$\int _{ -1 }^{ 2 }{ (1-z)(1-z)(x-z)dz }$$
ausmultiplizieren:
$$=\int _{ -1 }^{ 2 }{ x-2xz+x{ z }^{ 2 }-z+2{ z }^{ 2 }-{ z }^{ 3 }dz }$$
Stammfunktion\ bilden:
$$={ \left[ xz-x{ z }^{ 2 }+\frac { x }{ 3 } { z }^{ 3 }-\frac { 1 }{ 2 } { z }^{ 2 }+\frac { 2 }{ 3 } { z }^{ 3 }-\frac { 1 }{ 4 } { z }^{ 4 } \right]  }_{ -1 }^{ 2 }$$
Grenzen einsetzen:
$$=(2x-4x+\frac { 8 }{ 3 } x-2+\frac { 16 }{ 3 } -4)-(-x-x-\frac { x }{ 3 } -\frac { 1 }{ 2 } -\frac { 2 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 4 } )$$
Zusammenfassen:
$$=3x+\frac { 3 }{ 4 }$$

Answer 2

Hi,

schreibe als Summe um Summandenweise zu integrieren.

∫ xz^2 - 2xz + x - z^3 + 2z^2 - z dz

[1/3xz^2 + 2/3z^3 - xz^2 - z^2/2 + xz - z^4/4]

in den Grenzen von -1 bis 2

Einsetzen der Grenzen:

3x+3/4

Grüße