Integral- und Differentialgleichung. Strasse neben Fluss: Was muss ich machen?

Question

Aufgabe:

Der Verlauf eines Flusses wird beschrieben durch den Graph von f mit f(x) = 0,5 (x^3 - 4x^2 + 6x + 2).

Eine Straße verläuft längs des Graphen von g(x) = 0,5x + 4.

a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Extrema und Wendepunkte

b) An welchen Stellen verläuft die Straße parallel zum Fluss?

c) Weisen Sie nach, dass Straße und Fluss sich bei x = 3 schneiden. Bestimmen Sie die Größe des Schnittwinkels y.

d) Straße, Fluss und die y-Achse begrenzen ein Waldgebiet. Gesucht ist dessen Größe.

Ich weiß leider gar nicht wie ich überhaupt bei der Ableitung der Funktion f(x) beginnen soll. Es wäre super wenn man mir bei der Aufgabe helfen könnte :)

Problem/Ansatz:

Ich habe die erste und zweite Ableitung schon weiß jedoch nicht ob es richtig ist:

f‘(x) = 0,5 * (3x^2 - 8x + 6)
f“(x) = 0,5 * (6x - 8)

Am besten wären ganze Lösungsansätze, da ich echt nicht weiter weiß und schon am verzweifeln bin. Dankeschön für die Hilfe!

Answer 1

a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Extrema und Wendepunkte

Extrema: 1. Ableitung = 0 setzen und nach x auflösen. (Ergebnis: keine Extrema)

Wendepunkte: 2. Ableitung = 0 setzen und das Ergebnis in f(x) einsetzen, um die y-Koordinate des Punktes zu bestimmen.

b) An welchen Stellen verläuft die Straße parallel zum Fluss?

parallel = gleiche Steigung

An welchen Punkten hat der Graph die Steigung (= Ableitung) den Wert 0,5

c) Weisen Sie nach, dass Straße und Fluss sich bei x = 3 schneiden. Bestimmen Sie die Größe des Schnittwinkels y.

Schnittpunkt von f und g ermitteln, indem du die Funktionen gleichsetzt.

Den Schnittwinkel berechnet man mit der Formel $$tan(\alpha)=\frac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2}$$

d) Straße, Fluss und die y-Achse begrenzen ein Waldgebiet. Gesucht ist dessen Größe.

Du berechnest das Integral zwischen den beiden Funktionen von 0 bis 3.

Falls du weitere Hilfe brauchst, melde dich.

Gruß, Silvia

Comments

Hey Silvia,

Erst einmal vielen Dank für deine Antwort.

Das kommt wahrscheinlich jetzt komisch, aber wie löst man nochmal nach x auf bzw. bei dieser Aufgabe?

Gruß, Mary

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$$f(x)=1,5x^2-4x+3\\ 1,5x^2-4x+3=0\quad |:1,5\\ x^2-\frac{8}{3}x+2=0$$

pq-Formel anwenden:

$$x_{1,2}=\frac{4}{3}\pm \sqrt{(\frac{4}{3})^2-2}$$

keine Lösung, da aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann.

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Danke Silvia! :)

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Mich würde noch interessieren wie du auf die 4/3 gekommen bist :)

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Die pq-Formel lautet:

$${x}_{1,2}=-\left(\frac{p}{2}\right) \pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q}$$

p ist in diesem Fall \(-\frac{8}{3}\), die Hälfte davon mit geändertem Vorzeichen ist \(\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\)

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Achso, stimmt.

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Aufgabe a) habe ich jetzt und somit auch die Koordinaten die ich beim Wendepunkt ausgerechnet habe.

Wie genau rechne ich bei b) jetzt die parallele?

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Gut. Welche Koordinaten hast du für den Wendepunkt?

Die Gleichung der Straße ist \(g(x)=\frac{1}{2}x+4\). Die Steigung ist also \(\frac{1}{2}\) oder 0,5.

Parallel bedeutet in diesem Fall, an welchen Stellen haben Fluss und Straße die gleiche Steigung von 0,5?

Du setzt also die 1. Ableitung = Steigung der Flussgleichung = 0,5 und löst nach x auf.

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Ich habe (4/3 / 9/2)

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4/3 ist richtig, die y-Koordinate ist aber 71/27 = 2,63

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Ich habe wohl die falsche Funktion genommen.

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Du nimmst zur Berechnung der y-Koordinate eines Punktes immer die Ausgangsgleichung.

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Ich habe jetzt richtige Ableitung, sprich f(x) also die Ausgangsfunktion verwendet und jetzt stimmt es auch.

Answer 2

Deine Ableitungen stimmen.

Auf Extrema und Wendepunkte untersuchen sollte bekannt sein. Null stellen der Ableitungen und VZ Wechsel der Ableitungen...

Schnittpunkt Funktionen gleichsetzen. Nach x umstellen. Schnittwinkel aus der Steigung beider Funktionen bei x=3 (Der Tangens ist hilfreich für den Winkel)

g-f rechnen das dann von 0 bis 3 integrieren

Dann schau mal wie weit du kommst.

Comments

Danke dir! :)

Answer 3

Lasse dir bei der Kontrolle von Ableitungen auch von Automaten helfen. Bsp. 0,5 (x^3 - 4x^2 + 6x + 2).

Hier so in der ersten Zeile eingeben:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=0.5+%28x%5E3+-+4x%5E2+%2B+6x+%2B+2%29&assumption=%22ListOrTimes%22+-%3E+%22List%22

WA denkt, dass du den "Input" meinst und rechnet dir z.B. die erste Ableitung gerade auch noch aus.

Text erkannt:

\( 0.5\left(x^{\wedge} 3-4 x^{\wedge} 2+6 x+2\right) \)
In in Extended Keyboard
Assuming multiplication | Use a list instead
Input:
\( 0.5\left(x^{3}-4 x^{2}+6 x+2\right) \)
Plots:

Text erkannt:

Derivative:
\( \frac{d}{d x}\left(0.5\left(x^{3}-4 x^{2}+6 x+2\right)\right)=1.5 x^{2}-4 x+3 \)
Indefinite integral:

 

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Dankeschön Lu :)