Aus Wikipedia (Stichwort: Konvergenzradius):
Wenn (Anm. JotEs: in der Reihe \(\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ x }^{ n } }\) ) ab einem bestimmten Index n alle an von 0 verschieden sind und der folgende Limes existiert, dann kann der Konvergenzradius (...) durch
$$r=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \left| \frac { { a }_{ n } }{ { a }_{ n+1 } } \right| }$$
berechnet werden.
In der vorliegenden Reihe
$$\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { (1+{ n }^{ 2 }*{ 2 }^{ n } }){ x }^{ n } }$$
sind alle an bereits ab n = 0 von Null verschieden, also:
$$r=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \left| \frac { 1+{ n }^{ 2 }*{ 2 }^{ n } }{ 1+{ (n+1) }^{ 2 }*{ 2 }^{ n+1 } } \right| }$$
Da dieser Bruch für alle n positiv ist, können die Betragsstriche weggelassen werden:
$$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { 1+{ n }^{ 2 }*{ 2 }^{ n } } }{ 1+{ (n+1) }^{ 2 }*{ 2 }^{ n+1 } } }$$
Zerlegen des Bruches in zwei Summanden:
$$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { 1 } }{ 1+{ (n+1) }^{ 2 }*{ 2 }^{ n+1 } } } +\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { { n }^{ 2 }*{ 2 }^{ n } } }{ 1+{ (n+1) }^{ 2 }*{ 2 }^{ n+1 } } }$$
$$=0+\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { { n }^{ 2 }*{ 2 }^{ n } } }{ 1+{ (n+1) }^{ 2 }*{ 2 }^{ n+1 } } }$$
$$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { { n }^{ 2 }*{ 2 }^{ n } } }{ 1+{ (n }^{ 2 }+2n+1)*{ 2 }^{ n+1 } } }$$
Kürzen mit 2n:
$$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { { { n }^{ 2 } } } }{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } { +{ (n }^{ 2 }+2n+1) }*{ 2 } } }$$
$$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { { { n }^{ 2 } } } }{ 0{ +{ 2n }^{ 2 }+4n+2 } } }$$
Kürzen mit n2 :
$$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { { 1 } } }{ { { 2 }+\frac { 4 }{ n } +\frac { 2 }{ { n }^{ 2 } } } } }$$
$$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { { 1 } } }{ { { 2 }+0+0 } } }$$
$$= \frac { 1 }{ 2 }$$
Damit hat das Konvergenzintervall eine Breite von 1
