Polyeder zeichnen, Basen bestimmen und größte Ecke ermitteln

Question

Aufgabe:

2. Zeichnen Sie die Ecken des Polyeders Ax ≤ b, x ≥ 0 mit

\( A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1\end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 3 \\ 6\end{array}\right) \)

und bestimmen Sie dessen Basen.
In welcher Ecke wird der Wert der Zielfunktion −x1 − 5 x2 + 2 x3 am
größten?

Problem/Ansatz:

Wie zeichnet man die Ecken eines Polyeders? wie bestimmt man die Basen?
Und wie bestimmt man die größte Ecke?

Answer 1

Hm,

also mal ein Versuch der Veranschaulichung.

Wenn ich alle Ecken E_i gefunden habe, dann wären die mit der Zielfunktion auf max. zu testen...Bevor ich jetzt einen Roman schreibe - stelle ggf. Rückfragen wo es klemmt...

Comments

wie es auf geogebra geht weiß ich auch. Aber wie ermittelt man das alles händisch?

Answer 2

Wie zeichnet man die Ecken eines Polyeders?

Ganz einfach: Man berechnet ihre Koordinaten und zeichnet sie dann in ein dreidimensionales KoSy ein.

Die Gleichung Ax = b beschreibt jeweils eine Ebene wobei "x" eigentlich ein Vektor(x,y,z) ist.

Die erste Ebene hat z.B. die Gleichung 1x+1y+1z= 4, die zweite Ebene ist 1x+0y+0z=2 usw.

Die Ecken des Polyeders sind einfach die Schnittpunkte von je drei Ebenen.

Nimm dir also je drei der 4 Ebenen und berechne ihren gemeinsamen Punkt.

Comments

Danke, damit kann ich was anfangen. Wie genau bestimme ich dann die Basen? Und gibt es eine andere Möglichkeit die größte Ecke ohne aus der Zeichnung abzulesen zu bestimmen?