Erstellen Sie eine Wertetabelle und zeichnen Sie den Graphen. Untersuchen Sie die Funktion.

Question

12. Gegeben ist die Funktion \( f(x)=2 x e^{x}+3 \).

a) Erstellen Sie eine Wertetabelle und zeichnen Sie den Graphen von \( \mathrm{f} \) für \( -4 \leq \mathrm{x} \leq 1 \).

b) Bestimmen Sie die Extremalpunkte und Wendepunkte von \( \mathrm{f} \) und untersuchen Sie durch Testwerte das Verhalten von \( \mathrm{f} \) für \( \mathrm{x} \rightarrow \pm \infty \).

c) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von \( \mathrm{f} \). Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A zwischen dem Graphen von \( \mathrm{f} \) und der \( \mathrm{x} \) -Achse über \( [0 ; \mathrm{I}] \).

d) Die Fläche A wird durch die Gerade \( \mathrm{y}(\mathrm{x})=5 \mathrm{x} \) zweigeteilt. Zeigen Sie, dass die beiden Teilflächen gleich groß sind.

13. Gegeben sind die Funktionen \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=6-\frac{3}{\mathrm{e}^{x}+1} \) und \( \mathrm{g}(\mathrm{x})=\ln \left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+1\right) \).

a) Untersuchen Sie die Funktion \( \mathrm{f} \) auf Achsenschnittpunkte und bestimmen Sie das Verhalten von \( \mathrm{f} \) für \( \mathrm{x} \rightarrow \pm \infty \). Zeichnen Sie den Graphen von \( \mathrm{f} \) für \( -6 \leq \mathrm{x} \leq 6 \)

b) Weisen Sie nach: \( f(x)=3+\frac{3 e^{x}}{e^{x}+1} \).

c) Nun wird die Funktion g betrachtet. Geben Sie den Definitionsbereich von g an. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion für \( \mathrm{x} \rightarrow-\infty \). Weisen Sie nach: Die Funktion g nimmt nur Steigungswerte zwischen 0 und 1 an.

d) Leiten Sie durch geschickte Ausnutzung der bisherigen Ergebnisse eine Stammfunktion von \( \mathrm{f} \) her und berechnen Sie die Fläche A zwischen dem Graphen von \( \mathrm{f} \) und der horizontalen Geraden \( \mathrm{y}(\mathrm{x})=6 \) über dem Intervall \( \mathrm{I}=[0 ; 5] \).

Problem:

Bitte nur die Aufagben 12) d und 13) d berechnen.

Answer 1

Hi,

zur Aufgabe 12 d)

Aus 12c) kennst Du den Flächeninhalt mit A = 5cm²

Wenn Du nun die Hälfte willst, ist das A = 2,5cm².

Mit y = 5x von 0 bis 1, hast Du (mit der x-Achse) genau das Dreieck (siehe eventuell Skizze) welches den Flächeninhalt 2,5cm² hat. Passt also.

 

13d)

Du hast ja schon die b) nachgewiesen. Das ist hilfreich zur Bestimmung der Stammfunktion. Denn der erste Summand ist einfach 3x. Beim zweiten Summanden hast Du (die 3 als konstanter Faktor ausgeklammert) die Form f'(x)/f(x). Das ergibt den Logarithmus beim Integrieren.

 

--> F(x) = 3x + 3*ln(e^x+1) + c

 

Du hast ja schon F(x). Setze die Grenzen ein -> ≈27,94

Das Rechteck was durch die Gerade gebildet hat, hat 6*5 = 30

-> Gesuchte Fläche ist A = 30 FE - 27,94 FE = 2,06 FE

 

Grüße

Comments

Hallo :),

Könnte mir jemand erklären, wie ich bei der 13 b) die Funktion f Nachweise?

Vielen Dank schon einmal im Voraus :)

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Hier die Umstellungen

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Danke das war wirklich hilfreich :) Ich wäre aber nicht alleine auf die Ergänzung +3-3 gekommen..

Ich hab aber auch noch eine Frage zur 13 c), dort soll ja der definitonsbereich bestimmt werden, ich habe mir jetzt überlegt, dass g nicht definiert ist wenn e^x kleiner -1 ist weil ich ja keine ln von 0 bzw. kleiner 0 bestimmen kann. Wie bekomme ich rechnerisch heraus, wann e^x  kleiner -1 ist?

Und bei dem 2. Teil der c) ist mir unklar wie ich Nachweise, dass die Funktion nur steigungswerte zwischen 0 und 1 annimmt..

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Danke das war wirklich hilfreich :)
Ich wäre aber nicht alleine auf die Ergänzung +3-3 gekommen..

Das ist Trick 17. Kommt ab und zu vor.

Wie bekomme ich rechnerisch heraus, wann e^x  kleiner -1 ist ?

e^x ist stets positiv. Dies ist wichtig. Kommt laufend vor.

~plot~ e^x ~plot~

e^x + 1 ist stets > 1
ln ( e^x + 1 ) ist somit für alle x  definiert.
D = ℝ

Und bei dem 2. Teil der c) ist mir unklar wie ich Nachweise, dass
die Funktion nur steigungswerte zwischen 0 und 1 annimmt..

Steigungen :
1.Ableitung
[ ln ( term )  ] ´ = ( term ´ ) /  term. Wichtig. Kommt laufend vor.
g ´ ( x )  = e^x / ( e^x + 1 )

Polynomdivision
e^x : e^x + 1 = 1 - 1 / ( e^x + 1 )
e^x + 1
---------
          -1

e^x / ( e^x + 1 ) = 1 - 1 / ( e^x + 1 )

1 - 1 / ( e^x + 1 )
e^x  liegt zwischen 0 und ∞
( e^x +1 ) liegt zwischen 1 und ∞
1 / ( e^x + 1 ) liegt zwischen 1 und 0
1 - 1 / ( e^x + 1 ) = 1 - 1 = 0
1 - 1 / ( e^x + 1 ) = 1 - 0 = 1

g ´ ( x )  liegt zwischen 0 und 1

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geht auch einfacher
e^x / ( e^x + 1 ) > 0
e^x > 0 * ( e^x + 1 )
e^x > 0  stimmt immer

e^x / ( e^x + 1 ) < 1
e^x < e^x + 1 | - e^x
0 < 1  stimmt immer

Gegennachweis zur Überprüfung von
e^x / ( e^x + 1 ) < 0.5
e^x < 0.5 * ( e^x + 1 )
e^x < 0.5 * ex + 0.5
0.5 * e^x < 0.5
e^x < 0.5  stimmt nicht für alle x
ln ( e^x) < ln (0.5 )
x < ln ( 0.5 )  | stimmt also nur für bestimmte x

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Vielen Dank für die Mühe :)) Ich hab es verstanden :)

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Geht auch noch anders

Gibt es einen Extremwert der 1.Ableitung / Steigung ?
g ´ ( x )  = e^x / ( e^x + 1 )
2.Ableitung bilden
g ´´ ( x ) = [ e^x * ( e^x + 1 ) - e^x * e^x ] / ( e^x + 1 )²
g ´´( x ) = [ e^x * ( e^x + 1 - e^x ) ] / ( e^x + 1 )²
g ´´( x ) = e^x  / ( e^x + 1 )²

Min oder Max :
e^x  / ( e^x + 1 )² = 0
Ein Bruch ist dann 0 wenn der Zähler 0 ist.
Ist hier nicht möglich.

Randmaximum ?
lim x −> ∞ [ e^x / ( e^x + 1 ) ] = ∞ / ∞ = 1
lim x −> -∞ [ e^x / ( e^x + 1 ) ] = 0 / ( 0 + 1 )  = 0

Die Steigung liegt zwischen 0 und 1.

Ich hoffe die verschiedenen Möglichkeiten einen Beweis zu führen waren
für dich auch interessant.

Vielen Dank für die Mühe

Dazu der Spruch des Tages :
Eine Kuh macht muh, viele Kühe machen Mühe.