Gleichung logarithmieren und vereinfachen

Question

Aufgabe:

K_n  = K₀ * L ^{ln Xn /ln 2} 

Diese Gleichung soll laut Buch = ln K₀ - ln X_n * (- ln L / ln 2)

Ansatz:

Meine Überlegungen waren bisher die Ln-Regeln anzuwenden
und K_n  = K₀ * L ^{ln Xn /ln 2}    zu vereinfachen, indem ich

L ln Xn /ln 2  = ϑ setze und dadurch K_n  = K₀*ϑ  erhalte. Nun mach ich von ln (A*B) = ln(A)+ln(B) gebrauch aber das Ergebnis ist nach der Substitution völlig falsch, kann mich einer auf die Richtige Spur bringen? Danke euch

Answer 1

\(\begin{aligned} &  & K_{n} & =K_{0}\cdot L^{\frac{\ln X_{n}}{\ln2}} &  & |\,\ln\\ & \iff & \ln K_{n} & =\ln\left(K_{0}\cdot L^{\frac{\ln X_{n}}{\ln2}}\right)\\ & \iff & \ln K_{n} & =\ln K_{0}+\ln L^{\frac{\ln X_{n}}{\ln2}}\\ & \iff & \ln K_{n} & =\ln K_{0}+\frac{\ln X_{n}}{\ln2}\cdot\ln L\\ & \iff & \ln K_{n} & =\ln K_{0}+\ln X_{n}\cdot\frac{\ln L}{\ln2}\\ & \iff & \ln K_{n} & =\ln K_{0}-\left(-\ln X_{n}\cdot\frac{\ln L}{\ln2}\right)\\ & \iff & \ln K_{n} & =\ln K_{0}-\ln X_{n}\cdot\left(-\frac{\ln L}{\ln2}\right) \end{aligned}\)