Beweisen eines Integrals durch partielle Integration

Question

Zeigen Sie, dass

 

∫x^plnx dx = (x^p+1/(p+1))*lnx - (x^p+1/(p+1)²⁾ + C   (p≠-1)

 

Meine partielle Integration klappt irgendwie nicht wirklich..

muss man zweimal integrieren?

Comments

Ich kenne die genaue Formulierung der Aufgabe nicht.
Sollten dir die Funktion und die Stammfunktion bereits gegeben sein,
kannst die auch die Stammfunktion einfach differenzieren und mit der
Funktion vergleichen.

  mfg Georg

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Ich vermute wie Georgborn, dass die Ableitung des Resultates genügt. (Fragestellungsabhängig)

Falls da ausdrücklich eine Integration verlangt ist, kannst du schauen, ob du die Schritt für Schritt- Lösung hier verstehst:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=∫x%5Ep+lnx+dx

Wenn du denen eine E-Mailadresse angibst, sind 3 solche automatischen Rechnungen pro Tag kostenfrei.

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Ich habe die komplette Fragestellung oben angegeben. Mehr ist auch mir nicht vorhanden. Doch das Thema lautet partielle Integration und daher nehme ich an, dass ich integrieren muss um zu beweisen.

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  sollte die Aufgabenstellung wie angegeben lauten

  " Zeigen Sie, dass
  ∫x^plnx dx = (x^p+1/(p+1))*lnx - (x^p+1/(p+1)²⁾ + C   (p≠-1) " ist

  würde ich zeigen das der rechte Teil abgeleitet den linken ergibt.
Damit ist der Beweis erbracht.

  Mir ist die Aufgabe zu schwierig insbesondere wenn ich die
Stammfunktion sehe.

  Ansonsten verweise ich auf die Antwort von Lu. Ich denke
das wird dir sicher weiterhelfen falls integrieren willst.

  mfg Georg
 

Answer 1

$$\text{Wähle }u=\ln x\text{ und }v'=x^p.\text{Dann ist }u'=\frac1x \text{ und  }v=\frac1{p+1}x^{p+1}.$$Partielle Integration liefert$$\int x^p\ln xdx=\frac1{p+1}x^{p+1}\ln x-\int\frac1{p+1}x^pdx$$$$=\frac1{p+1}x^{p+1}\ln x-\frac1{(1+p)^2}x^{p+1}+C.$$

Comments

Im Integral würde ja stehen ∫(1/x)*x^p+1/(p+1) dx

Wie haben Sie 1/x mit x^p+1 verrechnet?

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Habe es gerade selbst herausgefunden.