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Frage: Wie groß ist der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse im Intervall (0;b)

f(x)=x^3

Bitte nicht mit Integralrechnung. Ich muss das mit der Ober- bzw. Untersumme bestimmen und dann anschließend mit den Grenzwertsätzen
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$$O(Z)=\sum^{n}_{k=1}{(x_{k}-x_{k-1})sup_{x_{k-1}<x<x_{k}}f(x)}$$

U(Z) analog mit Infimum, Z eine beliebige Zerlegung deines Intervalls, wenn du dann die Zerlegung Verfeinerst, durch Hinzunahme von Stützstellen wir die Obersumme entweder kleiner, oder bleibt gleich. Im Grenzwert, bei unendlich vielen Stützstellen, konvergiert die Obersumme dann gegen das Integral. Wenn du einfach Zerlegungen hernimmst, sodass benachbarte Stützstellen den gleichen Abstand haben kannst du sehr einfach mit Grenzwerten rechnen

Sei \(Z_{n}\) Zerlegung von [0,b], s.d.: \(0=x_{0},...,x_{n}=b\) \(\Rightarrow\) \(x_{k}-x_{k-1}=\frac{b}{n}\) für alle k

Also die Obersumme: $$O(Z_{n})=\sum_{k=1}^{n}{\frac{b}{n}(x_{k}^{3})}$$, also die Gesuchte Fläche

$$A=lim_{n\rightarrow \infty}(O(Z_{n}))$$
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