Berechnen Sie alle z ∈ C, die die folgenden Beziehungen erfüllen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie alle z ∈ C, die die folgenden Beziehungen erfüllen:
|z + 4| ≤ |z − 2i|

Problem/Ansatz:

Habe z = a+bi ersetzt und ausmulitpliziert. 

Ich komme auf: (a+4)² ≤ (b-2i)²

Wenn ich hier nun noch die Klammern auflöse komme ich dennoch nicht weiter.

Comments

gelöscht wegen Fehler - sorry !

Answer 1

Setze Dein \( z = a+bi \) richtig ein (oder lasse es besser sein):

$$ |z+4| \leq |z-2i| $$

$$ (z+4)\overline{(z+4)} \leq (z-2i)\overline{(z-2i)} $$

$$ (z+4)(\overline{z}+4) \leq (z-2i)(\overline{z}+2i) $$

$$ z\overline{z}+4z+4\overline{z}+16 \leq z\overline{z}+2iz-2i\overline{z}+4 $$

$$ (4-2i)z+(4+2i)\overline{z} \leq -12 $$

Das ist eine Gerade

\( 4x+2y \leq -6 \).

(Wegen der Ungleichung ist es genauer eine Halbebene.)

Answer 2

$$ |z + 4| ≤ |z − 2i|$$
$$ a+ ib=z$$
$$ |a+ ib + 4| ≤ |a+ ib − 2i|$$
$$ |a+ 4+ ib | ≤ |a+ i(b − 2)|$$
$$ \sqrt{(a+ 4)^2+ b^2} ≤  \sqrt{a^2+(b − 2)^2}$$
$$ \sqrt{a^2+ 8a+16+ b^2} ≤  \sqrt{a^2+  (b ^2− 4b+4)}$$
$$ a^2+ 8a+16+b^2 ≤  a^2 +b ^2-4b+4$$
$$  8a+16+ b^2 ≤  b ^2-4b+4$$
$$  8a+16 ≤  -4b+4$$
$$  8a+12 ≤  -4b$$
$$  2a+3 ≤  -b$$

$$  -2a-3 \ge b$$

$$ b \le  -2a-3 $$

$$ b \le  -2(a+3) $$

... wenn ich mich nicht wieder verfummelt habe ...

Comments

Jo, sieht gut aus, ich habe am Anfang nur das z falsch ersetzt.

Aber den letzten Schritt, das Ausklammern der -2, verstehe ich nicht.

Das wäre dann ja -2(a+3) = -2a -6

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Da habe ich Mist gebaut

$$−(2a+3)$$

oder

$$−2(a+\frac 32)$$

wäre richtig, bringt aber nix mehr

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$$2a+3 ≤  -b$$

könnte man auch nach a auflösen:

$$2a ≤  -b-3$$

$$a ≤  - \frac{b+3}{2}$$