z³ + pz + q = 0 Zeigen Sie, dass zu jeder Lösung z0 ∈ C dieser Gleichung auch z0 (Komplement) eine Lösung ist.

Question

Aufgabe:

Für p, q ∈ R wird die Gleichung z³ + pz + q = 0 betrachtet. Zeigen Sie, dass
zu jeder Lösung  z0 ∈ C dieser Gleichung auch z0 (Komplement) eine Lösung ist.

Problem/Ansatz:

Meine Überlegung war, dass z³ eine Fkt durch den 3. und 1. Quadranten ist und somit auch die Spiegelung an der X Achse eine Lösung sein sollte, allerdings weiß ich nicht, wie man das zeigen bzw. beweisen kann.

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln#Die_cardanische_Formel_zur_Aufl%C3%B6sung_der_reduzierten_Form_'%22%60UNIQ--postMath-00000011-QINU%60%22'

Dort siehst du das Kapitel "Die cardanische Formel zur Auflösung der reduzierten Form z^3+pz+q=0"

Answer 1

Hallo,

es sei \(f(z):=z^3+pz+q\) und \(z_0\) eine Nullstelle. Dann gilt:

$$0=f(z_0) \Rightarrow 0= \bar{0}=\overline{f(z_0)}=f(\overline{z_0})$$

Dabei wird beim letzten Gleichheitszeichen ausgenutzt, dass p,q reell sind und insgesamt besagt die Gleichungskette, dass \(\overline{z_0}\) eine Nullstelle von f ist.

Gruß

Comments

Gegeben ist eine Gleichung und keine Funktion.

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Hallo,

ich weiß nicht recht, was Du mit diesem Kommentar sagen willst. Eine Lösung der eingangs angeschriebenen Gleichung ist eine Nullstelle der von mir definierten Funktion oder nicht?

Gruß

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Das ist eine Gleichung und keine Funktion. Löse sie durch Termumformung und beweise damit die Behauptung. Das ist leicht möglich.

Answer 2

Hallo

 die Gleichung hat mindestens eine reelle Lösung, deren konj komplexe sie selbst ist. Bleibt ( nach division durch die reelle Nullstelle eine quadratische Funktion die pq Formel gibt 2 konj komplexe Lösungen

deine Überlegung mit dem 1. und 4. Quadranten ist weder richtig noch bringt sie dich weiter, bzw. was meinst du damit genau

die Funktion ist für jedes z in C definiert, bildet also die Gaussche Ebene auf sich ab. wie jedes f(z) z in C

Gruß lul

Answer 3

Du hast hier eine Gleichung und keine Funktion.

Du hast also auch keine Nullstellen oder Quadranten oder eine Zahlenebene.

Löse die Gleichung.

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Oh, du hast Recht.