Finden sie alle Lösungen der Gleichung z³ = 8i und skizzieren Sie diese in der komplexen Ebene.

Question

Hallo ich komme mit der folgenden Aufgabe nicht klar.

Habe bisher folgendes:

z³ = 8i |³√

z₁ = -2i -> Im = -2 Re = 0

Dann Polynomdivision:

z³ - 8i : (z + 2i) = z² - 2iz -4

->  mit MNF kommt z₂ = i + √12 und z₃ = i - √12 .... 

ALSOOOOO... gut die kleinen Rechnungen sind keine Ursache ABER wieso : (z + 2i) woher kommt man drauf

(hab die Lösung Online von der Uni zur Verfügung gestellt bekommen. 

Und ist diese Skizze richtig oder muss ich da 'n mit einem 2/3 Kreis die Linke und obere Seite verbinden?

Answer 1

wenn du bei einem Polynom eine Nullstelle  kennst ( hier zo=-2i)als Nullstelle des Polynoms  z3 - 8i 

dann kannst du immer durch den Linearfaktor  ( z - zo) dividieren

hier also durch  ( z + 2i) und die anderen

Nullstellen liefert das Restpolynom.

Comments

danke dir... die skizze ist auch richtig oder fehlt da noch was?

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Bei deiner quadratischen Gleichung hast du dich vertan

gibt   √3 + i     und   -√3 + i   



Du kannst bei so einer 3. Wurzel aber auch so vorgehen:

Der Betrag von 8i ist 8 (also haben alle 3. Wurzeln

den Betrag 2)  und der Winkel gegenüber der

positiven reellen Achse  90°. Also ist eine 3. Wurzel beim Winkel von 30° also

zo= 2 * ( cos(30°) + i * sin(30°)  =  √3 + i   

8i kann auch zum Winkel  90° + 360° gedacht werden ,

davon 1/3 ist  150°  also eine weiter Wurzel

z1= 2* (cos(150°) + i*sin(150°) = -√3  + i

oder Winkel  90° + 2*360° davon 1/3 ist 270°also z2 =  2* (cos(270°) + i*sin(170°) = 0  - 2i = -2i

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Skizze muss dann natürlich auch angepasst werden. s.o.

die Winkel.