Gemeinsame Punkte Ebene mit Würfel [war: ...Ebene mit Ebene]

Question

Aufgabe:

… Ein Würfel besitzt die Eckpunkte O(0/0/0),P(6/0/0),Q(0/6/0),R(0/0/6) Gegeben ist außerdem die Ebene E: 3x₂+x₃=8

Problem/Ansatz:

Die Ebene E gehört zu einer Ebenenschar. Diese Schar ist gegeben durch E: 3x₂+x₃=a

Für welche Werte von a hat die Ebene E_a gemeinsame Punkte mit dem Würfel?

Answer 1

Für a ∈ [0 ; 24] gibt es gemeinsame Punkte mit dem Würfel.

Da die Ebene parallel zur x1-Achse verläuft könntest du einen Querschnitt parallel zur x2-x3-Ebene Skizzieren.

Versuche das mal. Zeichne also den Querschnitt des Würfels und den Querschnitt der Ebene.

Answer 2

Aloha :)

Damit ein Punkt innerhalb des Würfels liegt, müssen alle seine Koordinaten im Intervall $[0|6]$ liegen. Wählen wir $x_2=0$, also den kleinstmöglichen Wert, bleibt wegen der Ebenengleichung die Bedinung $x_3=a$ übrig, das heißt: $a\in[0|6]$ ist zulässig. Wählen wir $x_3=0$ folgt aus der Ebenengleichung $x_2=\frac{a}{3}$, das heißt $a\in[0|18]$ ist zulässig.

Korrektur:

Wenn sowohl $x_2=6$ als auch $x_3=6$ ist, kommt $a=24$ heraus, d.h. bis zu $a=24$ gibt es gemeinsamene Punkte von Ebene und Würfel.

Comments

_{Hatte sich schon erledigt}

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Wenn x2 und x3 beide 6 sind, wird a=24.

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Stimmt, den Fall habe ich übersehen... Danke für den Hinweis ;)