Bestimme die Funktionsgleichung von f

Question

Aufgabe:

Der Graph einer Polynomfunktion f vierten Grades besitzt an der Stelle 0 eine Wendestelle. Die Gleichung der Wendetangente lautet t:y=1. Der Punkt T=(2/-7) ist ein Tiefpunkt. Bestimme die Funktionsgleichung.

Problem/Ansatz:

Wie komme ich zur Funktionsgleichung

Answer 1

Aloha :)

Eine Polynomfunktion 4-ten Grades sieht so aus:$$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$Ihre Ableitungen sind:$$f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$$$$f''(x)=12ax^2+6bx+2c$$$$f'''(x)=24ax+6b$$Wir wissen aus dem Aufgabentext, dass an der Stelle $x=0$ eine Wendestelle vorliegt, d.h.$$0=f''(0)=12a\cdot0^2+6b\cdot0+2c=2c\quad\Rightarrow\quad \underline{c=0}$$Weiter wissen wir, dass die Wendetangente $y=1=0\cdot x+1$ ist. Das heißt, die Steigung der Wendetangente ist $=0$, also muss die erste Ableitung $f'(x)$ an der Stelle $x=0$ ebenfalls $=0$ sein:$$0=f'(0)=4a\cdot0^3+3b\cdot0^2+2c\cdot0+d=d\quad\Rightarrow\quad\underline{d=0}$$Aus der Wendetangente $y=1$ wissen wir auch noch, dass der Funktionswert $f(0)$ am Wendepunkt $=1$ sein muss:$$1=f(0)=a\cdot0^4+b\cdot0^3+c\cdot0^2+d\cdot0+e=e\quad\Rightarrow\quad\underline{e=1}$$Schließlich wissen wir noch, dass der Punkt $(2|-7)$ ein Tiefpunkt ist, das heißt:$$\;\;\;0=f'(2)=4a\cdot2^3+3b\cdot2^2=32a+12b\quad\;\;\;\;\quad\Rightarrow\quad8a+3b=0$$$$-7=f(2)\;\;=a\cdot2^4+b\cdot2^3+1=16a+8b+1\quad\Rightarrow\quad2a+b=-1$$Wir erhalten ein Gleichungssystem mit den Lösungen $\underline{a=1,5}$ und $\underline{b=-4}$. Die gesuchte Funktion lautet daher:$$f(x)=\frac{3}{2}x^4-4x^3+1$$

Plotlux öffnen

f₁(x) = 3/2·x⁴-4x³+1P(2|-7)P(0|1)Zoom: x(-2…4) y(-7,5…10)

Answer 2

f(0)=1

f'(0)=0

f''(0)= 0

f(2)=-7

f'(2)=0

Answer 3

Eigenschaften

f(0)=1
f'(0)=0
f''(0)=0
f(2)=-7
f'(2)=0

Gleichungssystem

e = 1
d = 0
2c = 0
16a + 8b + 4c + 2d + e = -7
32a + 12b + 4c + d = 0

Funktion und Ableitung(en)

f(x) = 1,5·x⁴ - 4·x³ + 1
f'(x) = 6·x³ - 12·x²
f''(x) = 18·x² - 24·x
f'''(x) = 36·x - 24
f''''(x) = 36

Wo liegen dabei genau deine Probleme?

Lass dir bei anderen Aufgaben helfen: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Comments

Ich weiß nicht wann man welche Ableitung nimmt um zur Funktionsgleichung zu kommen.

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Merkmal aller Extrempunkte?

Merkmal aller Wendepunkte?

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Mit der ersten Ableitung bestimmt man ja die Steigung. Ist also etwas über die Steigung bekannt, z.B. durch das Verhalten der Tangente oder bei Kenntnis eines Hoch oder Tiefpunktes in dem ja die Ableitung Null ist, dann benutzt du die erste Ableitung.

Mit der zweiten Ableitung bestimmt man die "Krümmung". Ist also etwas über die Krümmung bekannt, weil man z.B. einen Wendepunkt vorliegen hat, indem die Krümmung Null ist, benutzt man die zweite Ableitung.

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und wie berechne ich dann:

16a + 8b + 4c + 2d + e = -7
32a + 12b + 4c + d = 0

damit ich auf f(x)= 1,5·x4 - 4·x3 + 1 komme?

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e = 1
d = 0
2c = 0
16a + 8b + 4c + 2d + e = -7
32a + 12b + 4c + d = 0

Aus den ersten drei Gleichungen kennst du bereits e, d und c. Also einsetzen

16a + 8b + 0 + 0 + 1 = -7
32a + 12b + 0 + 0 = 0

oder vereinfacht

16a + 8b = -8 → 2a + b = -1
32a + 12b = 0 → 8a + 3b = 0

Das solltest du wohl einfach lösen können.

Wenn nicht hilft z.B. Photomath.

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Vielen Dank! Du hast mir echt weiter geholfen :)

Answer 4

f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e

f '(x)=4ax³+3bx²+2cx+d

f ''(x)=12ax²+6bx+2c

f ''(0)=0

f '(0)=0

f(2)=-7

f '(2)=0

f(0)=1.