Lage zweier Ebenen, zweier Koordinatengleichungen

Question

Schneiden sich die Ebenen E1:3x1-4x2+x3=1

E2:5x1+2x2-2x3=6

Danach hat mein Lehrer aufgeschrieben das LGS ist äquivalent zu 13x1-5x3=13 und E2:5x1+2x2-2x3=6.

Wie kommt er auf 13x1-5x3=13?

Answer 1

$$ E1:~~3x_1-4x_2+x_3=1 ~~~~(1)$$
$$ E2:~~5x_1+2x_2-2x_3=6~~~~(2)$$

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$$ 2\cdot (2)+(1): \\ ~~~~~~~~13x_1-3x_3=13$$

Entweder muss es in der ersten Gleichung \(-x_3\) heißen, oder deinem Lehrer ist ein Vorzeichenfehler unterlaufen.

$$ E1:~~3x_1-4x_2-x_3=1 ~~~~(1')$$
$$ E2:~~5x_1+2x_2-2x_3=6~~~~(2')$$
-------------------------------------------------------
$$ 2\cdot (2')+(1'): \\ ~~~~~~~~13x_1-5x_3=13$$

Comments

vielen dank!

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Gerne. Vielleicht fragst du dich, wie ich auf die Antwort gekommen bin.

Da in der letzten Gleichung \(x_2\) fehlt, habe ich geguckt, welche Faktoren jeweils vor \(x_2 \) stehen, nämlich -4 und +2. Wenn ich die zweite Gleichung mit 2 multipliziere und dann beide Gleichungen addiere, fällt \(-4x_2+4x_2\) weg.

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ja, da bin ich sogar selbst darauf gekommen. aber herzlichen dank für die Erläuterung!