Knickfreier Übergang Funktion

Question

Aufgabe:

Eine Rennstrecke vom Punkt A zum B wird durch den Graphen einer ganz rationalen Funktion k zweiten Grades mit folgenden Eigenschaften beschrieben:

1. A(0/3) und B (4/1) gehören zum Graphen von k

2. Der Graph von k geht tangential (ohne Knick) in den Graphen von g(x)=1 über

Ermitteln sie die Gleichung für k(x).

Problem/Ansatz:

Also ich weiß, dass ohne Knick bedeutet dass an der Stelle, an der die Anschlussstellen aufeinander treffen die 1. Ableitung beider Funktionen gleich sein muss.

Die erste Ableitung von g wäre g’(x)= 0

Das heißt ja automatisch dass meine Funktion k’(x) auch gleich 0 sein muss.

Eine Funktion zweiten Grades wäre:

k(x)= ax^2+bx+c

k’(x)= 2ax+b

Und jetzt komm ich nicht mehr weiter. Ich habe absolut keine Ahnung wie ich die Punkte A und B da mit verwenden soll und die Gleichung aufstellen kann... wäre super wenn mir jemand auf die Sprünge hilft.

LG

Answer 1

k ( x ) = a*x^2 + b*x + c
k ´( x ) = 2a*x + b

k ( 0 ) = 3
k ( 4 ) = 1

k ( x ) = a*x^2 + b*x + c
k ( 0 ) =a*0^2 + b* 0 + c = 3  => c = 3
k ( 4 ) = a*4^2 + b*4 + 3 = 1
16*a + 4*b + 3 = 1

Da k(4) = 1 ist wie g(4) = 1 ist
k ´( 4 ) = g´ ( 4 ) = 0

k ´( 4) = 2a*4 + b = 0

16*a + 4*b + 3 = 1
2a*4 + b = 0  | *2

16*a + 4*b + 3 = 1
16a + 2*b = 0  | abziehen
--------------------
2b = -2
b = -1

Einsetzen
16a + 4b + 3 = 1
16a - 4 + 3 = 1
16*a = 2
a = 1/8

k ( x ) = 1/8 * x^2  - x + 3

Answer 2

ganzrational 2. Grades ist eine quadratische Funktion, Steigung gleich 0 hat die nur

im Scheitelpunkt. Und der muss also den y-Wert 1 haben.

Also Ansatz     k(x) = a*(x-b)^2 + c

mit  k(b)=1 also  c=1

und außerdem hast du k(0)=3 und k(4)=1 .

==>  3 = a*b^2 + 1 ==>  a*b^2 = 2

und  1 = a*(4-b)^2 +1 ==>  a*(4-b)^2 = 0

und weil a nicht 0 ist, also  b=4

und mit a*b^2 = 2 als0  a=1/8 .

==>  k(x) = (1/8) * (x-4)^2 + 1

Sieht so aus    ~plot~ (x-4)^2 / 8 + 1 ; 1 ~plot~