Abstand punkt zur gerade

Question

Aufgabe:

… Gegeben: g:(1/10/1)+t(-4/3/0)

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes C zur Geraden g.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten oder?

1. Eine Hilfsebene aufstellen mit Punkt C. Und einsetzen in G. Mein Schnittpunkt ist L. Und dann abstand CL berechnen.

2. Mit skalarprodukt. r×r=0 da ich zwei geraden habe, die orthogonal zueinander stehen. Und mein L(1-4t/10+3t/1) ist. Dann Vektor PL×rg=0 und nach t lösen. t in g einsetzen und Abstand PL berechnen.

Gibt es noch was ? Und stimmt das so?

Stimmt das?

Answer 1

Du kannst auch den Abstand von C und einem beliebigen Punkt auf g als Formel aufstellen

d=√ (   (c1 - (1-4t))^2 +  (c2 - (10+3t))^2 +  (c3 -1 )^2  )

als Funktion von t betrachten und das Minimum bestimmen.

Die Wurzel kannst du dabei sogar weglassen; denn das Minimum hat man ja dann, wenn der

Radikand minimal ist.

Answer 2

Im Internet unter dem Stichwort "Abstand Punkt Gerade" findest du alles, was du wissen willst.

Answer 3

Ich kenne nur das Lotfußpunktverfahren

Man nimmt eine Hilfsebene in der Normalenform E: (x-a)*n=0

Die Gerade g: x=(1/10/1)+t*(-4/3/0)  steht senkrecht auf der Ebene

Den Punkt C(cx/cycz) setzt man als Stützpunkt (Stützvektor) in der Hilfsebene ein

E: (x-(cx/cy/cz)*(nx/ny/nz)=0

Da die Gerade g: snkrecht auf der Hilfsebene steht,ist der Normalenvektor=Richtungsvektor der Geraden

E: (x-(cx/cy/cz))*(-4/3/0)=

Daraus ergibt sich der Schnittpunkt mit der Ebene E:,den man Fußpunkt nennnt

Abstand von 2 Punkten im Raum Betrag  d=Wurzel(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)

Das ist dann der Abstand Gerade g: → C(cx/cy/cz)

Answer 4

Aloha :)

Gegeben sind eine Gerade \(g:\,\vec a+s\cdot\vec b\) und ein Punkt \(C\) mit Ortsvektor \(\vec c\). Dann führt$$\vec d=\left(\vec c-\vec a\right)-\frac{\left(\vec c-\vec a\right)\cdot\vec b}{|\vec b|}$$von der Geraden \(g\) zum Punkt \(C\) und steht senkrecht auf \(g\). Der Betrag \(|\vec d|\) dieses Vektors ist der Abstand des Punktes von der Geraden.

Zur Erklärung: Der Vektor \(\overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a\) führt vom Ankerpunkt \(\vec a\) der Geraden zum Punkt \(C\). Durch die Multiplikation mit dem Richtungsvektor \(\vec b/|\vec b|\) der Geraden wird \(\overrightarrow{AC}\) auf die Gerade \(g\) projeziert, wir erhalten \(\overrightarrow{AC}_\parallel\). Subtrahiert man diesen Vektor von \(\overrightarrow{AC}\), bleibt der senkrechte Anteil \(\overrightarrow{AC}_\perp\) übrig.