Verschiedene Eigenschaften von Fastkörpern

Question

ich möchte folgende drei Aussagen über Fastkörper beweisen, habe unten schon selbst etwas probiert, bin mir aber irgendwie nicht sicher, ob der Beweis so vollständig ist, vielleicht sieht jemand von euch, wo ich etwas vergessen habe :)

Zeigen Sie, dass in einem beliebigen Fastkörper F gilt:

1.) Für alle x ∈ F ist x*0=0*x=0. Außerdem ist F Nullteilerfrei.

2.) Für alle x ∈ F ist (-1)*x=-x=x*(-1)

3.) Der `Kern´ D={x∈ F: x*(y+z)= x*y+x*z} ist ein Körper, der das Zentrum enthält.

Mein Ansatz:

O_F*x=(O_F+O_F)*x=O_F*x+O_F*x

Addition von - O_F*x auf beiden Seiten liefert: O_F*x=O_F

Noch zu zeigen: x*O_F=O_F

Sei0 ≠ y ∈F .

Berechne:

(x*O_F)*y=x*(0_F*y)=O_F

⇔ x*O_F = O_F

Nullteilerfrei:

Seien  0≠x,y∈F mit x*y=O_F

Dann folgt, da F\{0} Gruppe, dass x*y kein mult. Inverses hat.

Widerspruch.

2.)

Sei x∈F

Zeige zunächst: (-1)*x=(-1x)

Berechne:

1*x+(-1)*x=(1-1)*x=O_F aufgrund der Rechtsdistributivität von F

⇒ (-1)x=-x=-(1x)

Noch zu zeigen:

x*(-1)=-x

Berechne

(x(-1)x^-1)² = x(-1)x^-1x(-1)x^-1  = 1 ⇔ x*(-1)=((-1)*x^-1)^-1= (-1)x⇒Beh.

3.) Dass D ein Schiefkörper ist, ist aufgrund des zweiten Distributivgesetzes klar.

Noch zu zeigen: D enthält das Zentrum von F.

Sei x im Zentrum.

z.z. x liegt bereits in K

Dann gilt:

x*y+x*z=yx+zx=(y+z)*x=x*(y+z) Aufgrund der Rechtsdistributivität und der Tatsache, dass x im Zentrum liegt.

⇒Beh.

Comments

Auch hier kommt es wieder stark auf eure genauen Axiome an.

(F1) (F,+,0) abelsche Gruppe

(F2) (F∖{0},⋅,1) Gruppe

(F3) rechtes Distributivgesetz: (x+y)⋅z=x⋅z+y⋅z

Wir waren letztes mal hier stehen geblieben. Laut Wikipedia wäre es aber noch gut zu fordern, dass

0*x=0=x*0 für alle x

oder

1*x = x = x*1 für alle x (für 0 ist das nämlich nicht klar)

A1: ( Q , + ) is an abelian group.
A2: ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) (The associative law for multiplication).
A3: ( a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c  (The right distributive law).
A4: Q contains an element 1 such that 1 ⋅ a = a ⋅ 1 = a (Multiplicative identity).
A5: For every non-zero element a of Q there exists an element \(a^{-1}\) such that \(a ⋅ a^{-1} = 1 = a^{-1}⋅ a \) (Multiplicative inverse).

Sometimes a list of axioms is given in which A4 and A5 are replaced by the following single statement:

    A4*: The non-zero elements form a group under multiplication.

However, this alternative definition includes one exceptional structure of order 2 which fails to satisfy various basic theorems (such as x ⋅ 0 = 0)

vgl. https://en.wikipedia.org/wiki/Near-field_(mathematics)

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Genau also wir haben Fastkörper so definiert,

dass

-(F,+) abelsche Gruppe

-(F\{0},*) Gruppe

-und (y+z)*x=y*x+z*x

und aus diesen sollte ich die anderen Aussagen dann herleiten

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Also falls der Fastkörper 2 Elemente hat sind bis auf Isomorphie (ist dieser Begriff überhaupt sinnvoll?)

$$ \begin{array}{c|cc} + & 0 & 1 \\\hline 0 & 0 & 1\\1 & 1 & 0 \end{array} \qquad  \begin{array}{c|cc} \cdot & 0 & 1 \\\hline 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 1 \end{array} $$ und $$ \begin{array}{c|cc} + & 0 & 1 \\\hline 0 & 0 & 1\\1 & 1 & 0 \end{array} \qquad  \begin{array}{c|cc} \cdot & 0 & 1 \\\hline 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 1 \end{array} $$ möglich. Der erste Fastkörper erfüllt aber z.B. nicht \( x \cdot 0 = 0 \) für alle \( x \).

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Ok, mir ist nicht ganz klar, warum der Fall 1*0=0 eintreten kann?

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Du meinst 1*0 = 1 oder? Bei richtigen Körpern wird das durch das linke Distributivgesetz verhindert, aber das fehlt hier eben.

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Achso ja klar :)  Vielleicht habe ich vergessen zu erwähnen, dass wir bei der Definition noch zusätzlich gefordert haben, dass immer 1*0=0*1=0 gilt, wobei 1 neutrales Elt. von (F\{0},*) und 0 neutrales Elt. von (F,+) ist.

Answer 1

Zu a) Die eine Gleichheit

$$ 0x = (0+0)x = 0x + 0x \implies 0x = 0 $$

ist richtig (haben wir ja in der anderen Frage auch schon geklärt). Dein Beweisversuch für die andere Gleichheit halte ich für zu schwammig (habe das unklar wirkende mal rot markiert)

Noch zu zeigen: x*0=0

Sei 0 ≠ y ∈F .

Berechne:

(x*0)*y=x*(0*y)=0

⇔ x*0 = 0

Ich würde hier so vorgehen: \( 0 \cdot 0 = 0 \) ist wegen der ersten Geichheit klar. Sei im Folgenden also \( x \neq 0 \). Angenommen \( z := x \cdot 0 \neq 0 \). Dann finden wir ein \( y \neq 0 \) mit \( x\cdot 0 = x \cdot y \) (man wählt einfach \( y = x^{-1} z \). Das ist ungleich 0, da \(x \neq  0\). Nach F2 ist also auch \( x^{-1} \neq 0 \). Und \( z \neq 0 \). Beide liegen also in der multiplikativen Gruppe \( F\setminus\{0\} \). Ihr Produkt damit auch, das \( y \) ist also ungleich 0). Wir multiplizieren von links mit dem Inversen von x und erhalten \( 1 \cdot 0 = 1 \cdot y = y \) .

Und jetzt wird diese Zusatzbedingung relevant: Nur mit dieser kann man nämlich weiter zu \( 0 = y \) vereinfachen und erhält dann den gewünschten Widerspruch, also muss \( x \cdot 0 = 0 \) sein.

Dann nullteilerfrei:

Hier finde ich deinen Beweis in Ordnung. ZZ ist \( xy = 0 \implies x = 0 \lor y = 0 \). Du argumentierst über die Kontraposition \( x \neq 0 \land y \neq 0 \implies xy \neq 0 \). Aber das ist wie von dir richtig angemerkt wegen F2 klar.

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Zu b) Hier ist die erste Gleichheit wieder gut:

$$ x + (-1)x = 1x + (-1)x = (1-1)x = 0x \stackrel{a)}{=} 0 \implies -x = (-1)x $$

Bei der zweiten Gleichtheit muss ich wieder etwas meckern:

((-1)*x^-1)^-1= (-1)x

Ist mMn unklar. Das Inverse ist (Regel von Hemd und Jacke) \( x(-1) \) und nicht \( (-1)x \). Beim invertieren muss man im nicht kommutativen Fall (und der ist bei einem Fastkörper gegeben!) immer auch die zu invertierenden Faktoren tauschen: \( (xy)^{-1} = y^{-1} x^{-1} \)

Für x = 0 ist \( x(-1) = 0 = -0 \) nach a) klar. Sei also \( x \neq 0 \). Angenommen \( x + x(-1) \neq 0 \), dann existiert ein \( y \neq 0 \) (vgl. oben) mit \( x + x(-1) = xy \). Von links mit dem Inversen von x multiplizieren liefert \( 1 + 1(-1) = 1y = 1 \implies 0 = 1-1 = y \) Widerspruch. Somit \( x + x(-1) = 0 \implies x(-1) = -x \)

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Zu c)

Dass D ein Schiefkörper ist, ist aufgrund des zweiten Distributivgesetzes klar.

Würde ich auch sagen. Es fehlt zum Körper also noch die Kommutativität der Multiplikation. Darauf gehst du aber gar nicht ein, sollte es in der Aufgabe also

Der `Kern´ D={x∈ F: x*(y+z)= x*y+x*z} ist ein SchiefKörper, der das Zentrum enthält.

heißen?

Deine Argumentation zum Zentrum ist wieder gelungen.

Comments

Vielen Dank dir :) Ja es sollte natürlich Schiefkörper heißen :)

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Für x = 0 ist x(−1)=0=−0 nach a) klar. Sei also x≠0. Angenommen x+x(−1)≠0, dann existiert ein y≠0 (vgl. oben) mit x+x(−1)=xy. Von links mit dem Inversen von x multiplizieren liefert 1+1(−1)=1y=1⟹0=1−1=y Widerspruch. Somit x+x(−1)=0⟹x(−1)=−x

Das ist natürlich falsch. Das linke Distributivgesetz fehlt...

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Ah okay, wäre es dann bei 2.) vll doch sinnvoll

x(-1)x^-1 zu betrachten ?

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Nach etwas Literaturrecherche:

Near-rings, Günter Pilz, 1983, Seite 251

Das Vorgehen ist so: man zeigt zuerst \( x^2 = 1 \iff x\in\{ \pm 1 \} \) anschließend:

$$ (x^{-1}(-1)x)^2 = 1 $$

also muss dann \( x^{-1}(-1)x= \pm 1 \) gelten. Falls \( = 1 \) ist $$ -x = x $$ insbesondere \( 1 = -1 \), die Aussage ist in diesem Fall klar, da \( x(-1) = x\cdot 1 = x = -x \)

Falls \( = -1 \) folgt $$ (-1)x = x(-1) $$ dann ist die Aussage auch klar, da \( -x = (-1)x \) schon gezeigt wurde.