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Aufgabe:

Sei \( n \in \mathbb{N} \). Ähnlich zu den Verknüpfungen der komplexen Zahlen definieren wir auf der Menge

\( C_{n}:=\mathbb{Z}_{n}+i \mathbb{Z}_{n}=\left\{a+i b \mid a, b \in \mathbb{Z}_{n}\right\} \)

die Verknüpfungen \( + \) und \( \cdot \) durch

\( \begin{aligned} (a+i b)+(c+i d) &=\operatorname{Rest}_{n}(a+c)+i \operatorname{Rest}_{n}(b+d) \\ (a+i b) \cdot(c+i d) &=\operatorname{Rest}_{n}(a c-b d)+i \operatorname{Rest}_{n}(a d+b c) \end{aligned} \)

(a) Zeigen Sie, dass jedes von 0 verschiedenen Element von \( C_{3} \) ein multiplikatives Inverses besitzt.

(b) Zeigen Sie, dass \( C_{2} \) mit diesen Verknüpfungen kein Körper ist.

Bemerkung: \( C_{3} \) ist mit diesen Verknüpfungen ein Körper.

von

1 Antwort

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zu a)
Folgende Produkte ergeben die  1  C3:
(1 + 0i)(1 + 0i)
(2 + 0i)(2 + 0i)
(0 + 1i)(0 + 2i)
(1 + 1i)(2 + 1i)
(1 + 2i)(2 + 2i).
Daraus kann das multiplikative Inverse jedes von  0  verschiedenen Elements in  C3  ablesen.

Zu b)
C2  ist kein Körper, weil dort  (1 + 1i)(1 + 1i) = 0  gilt aber  (1 + 1i) ≠ 0 ist.
 

von

außerdem besitzt (1+1i) kein inversess Element in C2.

leider verstehe ich nichts ... warum die folgende produkte ergeben 1 ? wie schreibst du das ?

Passt doch mal mehr in den Vorlesungen auf, bzw. zieht euch mal rein, wie die C2 bzw. C3 definiert ist.

Als Beispiel:
(1+2i)*(2+2i)= Rest(2-4)+i*Rest(2+4)
= Rest(-2)+i*Rest(6)
=1+0*i
= 1

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