Bitte um Korrektur meiner Hausübung

Question

9. Gib eine Stammfunktion von f an.

a) $f(x)=-3$  $\int-3 d x=-3 x+C$
c. $f(x)=x^4$ int x^4 dx=x^5+C
e) f(x)=x^-133  int x^-133 dx= x^-134 +C

g) f(x)=x²⁵  int x²⁵ dx= x²⁶+C

10. Berechne und kontrolliere durch Differenzieren
a) int x²/5 dx= x³/5durch3/5+C=5/3 x³/5+C

b) int x^-2/3 dx= x^-3/3 durch 3/3+C=3/3 x³/3+C

c) int x¹/6 dx= x²/6 durch 2/6+C= 6/2 x²/6+C

d) int x^-1 dx= x^-2 durch -2

Answer 1

Aloha :)

Du hast das Integral nur "halb" gebildet. Du musst den Exponenten um 1 erhöhen und anschließend durch den neuen Exponenten dividieren.$$\int x^4\,dx=\frac{x^5}{5}+\text{const.}$$$$\int x^{-133}\,dx=\frac{x^{-132}}{132}+\text{const.}$$Du hast bei einigen Aufgaben falsch erhöht, etwa bei der (b) ist $-133+1=-132$, nicht $-134$. Und du hast bei allen Aufgaben vergessen, durch den neuen Exponenten zu divideren. Die einzig richtige Aufgabe ist die (a). Da müsste man durch $1$ dividieren, sodass es nicht auffällt, wenn man das vergisst.

Comments

ah ok vielen dank:) und wie funktioniert bei a und b differenzieren, damit ich mein Ergebnis überprüfen kann?

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Beim Differenzieren machst du das Gegenteil in umgekehrter Reihenfolge. Der aktuelle Exponent kommt als Faktor vor die Potenz und anschließend wird der Exponent um 1 vermindert.$$\text{Integrieren:}\quad\;\quad x^n\to\frac{x^{n+1}}{n+1}$$$$\text{Differenzieren:}\quad x^n\to n\cdot x^{n-1}$$Wir machen das mal gemeinsam an der (10b):$$\int x^{-2/3}dx=?$$Schritt 1: Erhöhen des Exponenten um $1$:$$-\frac{2}{3}+1=-\frac{2}{3}+\frac{3}{3}=\frac{1}{3}$$Das liefert uns das Teilergebnis: $x^{1/3}$.

Schritt 2: Das Teilergebnis durch den neuen Exponenten dividieren:$$\frac{x^{1/3}}{\frac{1}{3}}=x^{1/3}:\frac{1}{3}=x^{1/3}\cdot\frac{3}{1}=3x^{1/3}$$Damit haben wir das Integral fertig:$$\int x^{-2/3}dx=3x^{1/3}+\text{const.}$$Jetzt machen wir die Probe, indem wir $3x^{1/3}$ differenzieren:

1. Schritt: Der alte Exponent kommt als Faktor vor die Potenz:$$3x^{1/3}\stackrel{(1)}{\to}\frac{1}{3}\cdot3x^{1/3}=x^{1/3}$$2. Schritt: Der Exponent wird um 1 vermindert:$$\frac{1}{3}-1=\frac{1}{3}-\frac{3}{3}=-\frac{2}{3}$$Damit lautet die Ableitung: $x^{-2/3}$

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könntest du das vielleicht mit einem beispiel von 10 machen und was bekomme ich dann bei der 10 g) heraus?

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ich weiß nicht wie man auf das Ergebnis von a-d beispiel 10 komme

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Die 10d) ist ein Sonderfall. Wenn wir unsere Integrationsregel darauf anweden wollen kriegen wir Probleme, denn:$$\int x^{-1}dx=\frac{x^0}{0}\quad???$$Wenn wir $-1$ um $1$ erhöhen kommt als neuer Exponent $0$ heraus, durch die $0$ können wir aber nicht dividieren. Daher merkt man sich:$$\int x^{-1}dx=\ln|x|+\text{const}$$Ansonsten greift die einfach Integrationsregel immer, nur eben nicht, wenn der Exponent $-1$ ist.

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vielen vielen Dank!!

und noch eine Frage, was funktioniert die 10g? ist x^-1 nicht der logarithmus?

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$x^{-1}$ ist dasselbe wie $\frac{1}{x}$, denn negative Exponenten bedeuten, dass der Kehrwert zu nehmen ist. Richtig ist, dass das Integral von $x^{-1}$ der natürliche Logarithmus $\ln(x)$ ist.

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und wie lautet das ergebnis? mit differenzieren

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Du kannst ruhig benutzen, dass die Ableitung von $\ln(x)$ gleich $\frac{1}{x}$ ist. Das wird im Unterricht ein Mal gezeigt und kann dann als bekannt voraussetzt werden. Das brauchst du also nicht weiter zu begründen. Daher schreibe einfach:$$\int x^{-1}\,dx=\ln x+\text{const.}$$$$\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}=x^{-1}$$

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Dankeschön, du hast mir sehr weiter geholfen.!!

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wie komme ich auf die -4/3 bei Aufgabe 13b)?

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Ist dieses Ergebnis richtig mit -4/3 bei 13b und wenn wie kommt man auf dieses Ergebnis beim integrieren

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Vielleicht kannst  du dir die Frage selbst beantworten, wenn du die Stammfunktion ableitest...

Dann siehst du zumindest, warum da der Faktor -4/3 und kein anderer Faktor stehen muss.

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Hab ich versucht, aber bekomme immer einen anderen Wert heraus, wenn ich ableite

Answer 2

9.

a) Das "+C" brauchst du nicht hinzufügen.

c) Deine Stammfunktino ist falsch, wie du durch Ableiten überprüfen kannst. Eine Stammfunktion von f(x) = x⁴ ist F(x) = 1/5·x⁵.

e) siehe c)

g) siehe c)

10.

d) int x^-1 dx= x^-2 durch -2

Stammfunktion von f(x) = xⁿ ist 1/(n+1) · xⁿ⁺¹

Du hast dagegen f(x) = x^-1 aufgeleitet zu 1/(-1-1) · x^-1-1.

Obige Regel zur Bilndung der Stammfunktion gilt natürlich auch nur dann, wenn n+1 ≠ 0 ist (durch 0 kann man nicht teilen), wenn also n ≠ -1 ist.

Eine Stammfunktion von f(x) = x^-1  ist F(x) = ln(|x|).

a) int x²/5 dx= x³/5durch3/5+C=5/3 x³/5+C

Bist du sicher, dass im Exponenten des Integranden nicht eigentlich 2/5 steht?

Answer 3

siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst.

Kapitel,Integralrechnung,Integrationsregeln,Grundintegrale

Grundintegral Integral(x^(k)*dx=x^(k+1)*1/(k+1) mit k ungleich -1  für x<0 gilt x ungleich NULL

f(x)=-3  F(x)=Integral(-3*x⁰dx)=-3*Integral(x⁰*(dx)=-3*x^(0+1)*1/(0+1)=-3*x+C

f(x)=x⁴  F(x)=∫(x⁴*dx)  F(x)=x^(4+1)*1/(4+1)=1/5*x⁵+C

e) f(x)=x^(-133) F(x)=⌈(x^(-133)*dx) F(x)=x^(-133+1)*1/(-133+1)=-1/132*x^(-132)+C

g) f(x)=x²⁵ F(X)=∫x²⁵*dx=x^(25+1)*1/(25+1)=1/26*x²⁶+C

10 a)

F(x)=∫(1/5*x²*dx) F(x)=1/5*x^(2+1)*1/(2+1)+C=1/(5*3)*x³+C=1/15*x³+C

abgeleitet f(x)=1/15*x³+C*x⁰=1/15*3*x^(3-1)+C*0*x^(0-1)=3/15*x²+0=1/5*x²

Der Rest geht genau so.

c)f(x)=1/6*x¹  F(x)=∫1/6*x¹*dx)  F(x)=1/6*∫x¹*dx=1/6*x^(1+1)*1/(1+1)+C=1/(6*2)*x²+C=1/12*x²+C

Answer 4

Wenn der Auftrag ist: "Gib eine Stammfunktion von f an.", dann langt es aus wirklich nur eine anzugeben. Du brauchst dann nicht mit dem Unbestimmten Integral die Menge aller Stammfunktionen angeben.

a) f(x) = -3

F(x) = -3x

c) f(x) = x⁴

F(x) = 1/5·x⁵

Du brauchst hier also kein "+ C" anfügen.