Zum Betrag bei Schnittwinkel zweier Vektoren

Question

Aufgabe:

Bestimme die Größe eines Innenwinkels

Problem/Ansatz:

In einem Trapez gibt es zwei beliebige Vektoren \( \vec{LI} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \) und \( \vec{LK} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix} \).

Die Gleichung lautet $$ cos \ \alpha = \frac{ | \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix} | }{ | \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} | * | \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix} | } $$

Die Musterlösung sagt

$$ cos \ \alpha = \frac{ 8 }{ \sqrt{4^2 + 0^2 + (-4)^2 } * \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + (-3)^2 } } $$

Beim Kreuzprodukt habe ich $$ \begin{pmatrix} 0+20 \\ 4+12 \\ 20-0 \end{pmatrix} $$

ist ungleich 8.

Wo ist mein Fehler?

Answer 1

Der Zähler ist das Skalarprodukt der Vektoren, nicht das Kreuzprodukt:

$$\begin{pmatrix} 4\\0\\-4 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} -1\\5\\-3 \end{pmatrix}=-4+0+12=8$$

Answer 2

Beim Kreuzprodukt habe ich

Du musst das Skalarprodukt und nicht das Kreuzprodukt nehmen.

Das Kreuzprodukt ergibt einen Vektor und ein Vektor kann eh nie gleich 8 sein. Also sollte dir das schon zu denken geben.

Answer 3

Schnittwinkel von 2 Vektoren

(a)=arccos(a*b/((a)*(b))

Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz=..

Betrag (a)=Wurzel(ax²+ay²+az²)

Betrag (b)=Wurzel(bx²+by²+bz²)

Vektorprodukt (Kreuzprodukt) a kreuz b=c

Die ist ein Rechtssystem aus dem x-y-z-Koordinatensystem

Die x-Achse wird auf kürzesten Weg zur y-Achse gedreht und das ist dann eine Rectsschraube

Der Vektor c(cx/cy/cz) steht senkrecht auf den beiden Vektoren a(ax/ay/az) und b(bx/by/bz) und hat nichts mit dem Winkeln der beiden Vektoren zu tun.

Der Betrag (a kreuz b)  ist  die Fläche des Parallelogramms ,das von den beiden Vektoren a und b aufgespannt wird.

Fläche vom Paralleogramm A=Betrag(a kreuz b)