Question

Zeige, dass die folgenden Zahlen die komplexen n-ten Einheitswurzeln sind: $$ e^{i\frac{2\pi}{n} k},\quad k = 0,\dots ,\: n - 1 $$ Ich komme da nicht weiter und könnte hier Hilfe gebrauchen, um das nachvollziehen zu können. Wie wird das bewiesen und was bedeutet das k in diesem Falle und warum geht k gerade von 0 bis n-1?

vg coffee.cup

Answer 1

Hallo,

es geht um die Lösungen der Gleichung

x^n=1

Z.B. hat x^4 = 1 die Lösungen 1, i, -1 und -i.

Die Formel in der Aufgabe beschreibt diese Lösungen in der Polarform für n=4 und k=0; 1; 2; 3.

Alle haben den Betrag 1, unterscheiden sich aber im Winkel 2π•k/n.

1 → 2π•k/n=2π•0/4=0

i → 2π•k/n=2π•1/4=π/2

-1 --> 2π•k/n=2π•2/4=π

-i → 2π•k/n=2π•3/4=3π/2

:-)