Wie lautet die lösung der trigonometrischen gleichung?

Question

Die Lösungen von zwei trigonometrischen Gleichungen sollen errechnet werden.

Aufgabe 2 (Trigonometrische Gleichung):

Bestimmen Sie alle Iösungen der Gleichung

\( \cos \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \)

Aufgabe 3 (Trigonometrische Gleichung):

Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung

\( \sin ^{2}(x)-3 \cos ^{2}(x)+2=0 \)

Answer 1

^^ :-)

a)

cos(3x + π/4) = √3/2 | cos(π/6) = √3/2
3x + π/4 = π/6
3x = π/6 - π/4 = 2π/12 - 3π/12 = -π/12
x = -π/36

mit alle lösungen bestimmen ist wohl die periodizität gemeint.
cos(3x + π/4 + 2πk) = √3/2

...hmm oder doch eher die symmetrie...grüüübel ...
cos(π/6) = cos(-π/6)
3x + π/4 = -π/6
3x = -π/6 + π/4
3x = -2π/12 + 3π/12
3x = π/12
x = π/36

dann vielleicht doch die periodizität

3x + π/4 =  π/6 + 2πk
3x = π/6 - π/4 + 2πk
3x = 2π/12 - 3π/12 + 2πk
3x = - π/12 + 2πk
3x = - π/12 + 2πk
x = -π/36 + k * 2π/3

mit k ∈ ℤ kommt man dann auch auf die symmetrischen werte ran, links von der y-achse

b)
sin²(x) - 3cos²(x) + 2 = 0 | +cos²(x)
sin²(x) + cos²(x) - 3cos²(x) + 2 = cos²(x)
1 - 3cos²(x) + 2 = cos²(x)
4cos²(x) = 3
cos²(x) = 3/4
cos(x) = √3/2
x = √3/2

wegen der periodizität:

x = √3/2 + 2πk, k ∈ ℤ

gruß

gorgar

Comments

probe
x = -π/36 + k * 2π/3
3x + π/4 =
3(-π/36 + k * 2π/3) +  π/4 =
-3π/36 + k * 3*2π/3 +  π/4 =
-π/12 + 2πk +  π/4 =
-π/12 + 2πk +  3π/12 =
π/6 + 2πk

bin-go!
:-)

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Danke sehr! :)) Jetzt verstehe ich den Sinn der Aufgabe aber die war schon recht schwer muss ich sagen.