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Aufgabe:

Berechnen Sie die trigonometrischen Polynome von

(1) f(x) = sin(2x) cos(3x)

(2) f(x) = sin2 (x) cos3 (x)


Problem/Ansatz:

Formel Pn (x) = \( \frac{a0}{2} \) + \( \sum\limits_{k=1}^{n}{ak cos(kx) + bk sin(kx)} \)

Wie rechnet man das? Vorab Danke!

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Zu (2). Laut Formelsammlung gilt
\(\quad(1)\quad\cos^3 x=\frac14(3\cos x+\cos3x)\)
\(\quad(2)\quad\cos^5x=\frac1{16}(10\cos x+5\cos3x+\cos5x)\)
\(\quad(3)\quad\sin^2x=1-\cos^2x\).
Damit rechnet man
\(\sin^2x\cos^3x=(1-\cos^2x)\cos^3x=\cos^3x-\cos^5x=\frac18\cos x-\frac1{16}\cos3x-\frac1{16}\cos5x\).

So macht es Sinn- Danke!

2 Antworten

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Hallo ich denke es geht nicht um die Fourrierreihe, wenn man es Polynoms nennt, sondern um Potenzen von cos oder sin-

dann gilt etwa sin^2x=1-cos^2(x) und  cos (3x) = 4 cos^3 (x )- 3 cos( x)

weiteres in https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Winkelfunktionen_für_weitere_Vielfache

Falls wirklich die Fourrierreihe gemeint ist sieh auch in wiki oder dem Vorlesungsskript.

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

Das Arbeitsblatt gehört tatsächlich zum Themengebiet Fourierreihen. In der Aufgabe steht aber ausschließlich "trigonometrisches Polynom".

Über die Formeln (Wikipedia) komme ich für (1) auf das richtige Ergebnis:


-1/2 sin(x) + 1/2 sin(5x), d.h. es gilt sin(-x) = -sin(x) [?]


Für (2) finde ich zwar Formeln für sin^2 und cos^3, allerdings nicht als Produkt.

Die Lösung für (2) lautet:

\( \frac{1}{8} \) cos x - \( \frac{1}{16} \) cos 3x - \( \frac{1}{16} \) cos 5x

0 Daumen

Hallo,

Wie rechnet man das?

im allgemeinen wohl so:$$a_k = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(kx)\, \text dx\quad k \in \mathbb{N}_0\\ b_k = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(kx)\, \text dx\quad k \in \mathbb{N}$$allerdings muss ich gestehen, dass ich auch nicht weiß wie man z.B. dieses Integral löst$$\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} \sin(2x)\cos(3x)\sin(x)\,\text dx = \space ?$$Wolfram alpha und Desmos liefern zuverlässig$$\dots = -\frac{1}{2}$$was mit dem Ergebnis überein stimmt.

Als Hilfe sei noch erwähnt, dass \((1)\) eine ungerade Funktion ist und somit alle \(a_k=0\) sind. Im Gegensatz dazu ist \((2)\) eine gerade Funktion und folglich sind die \(b_k=0\).

Gruß Werner

Avatar von 48 k

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