Zeigen das V ein Linearer Unterraum ist

Question

Hallo,

In einer unserer Übungsaufgaben ist gegeben =>

V=(x element R^3: x1+x2+2x3=0)

Zeigen Sie, dass V ein Linearer Unterraum von R^3 ist indem Sie nachweisen, dass V bezüglich Addition und skalarer Multiplikation algebraisch abgeschlossen ist.

Könnte mir das jemand detailliert vorrechnen?

Ich versteh echt nicht wie man das macht

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Text erkannt:

If \( \tan (2, \pi) |\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \) and \( x=2 \)
\( 2 x+1=1 / 2 \)
" i d tatriage d. (ketorianss it?
Disprik cigulate an af is (side slivit). Wr affuce \( 4,4 \in V \) d. \( 4=\left(\frac{u}{4}\right), V=\left(\frac{\pi}{4}\right) \) not \( u_{1}+u_{2}+2 u_{3}=V_{2}+v_{1}+2 v_{3} \) chan why with \( A \) legh \( \quad \) and \( +20= \)
\( =(4 x+4 z) \)
nut is \( 10 \in V \) So \( \lambda \in \mathbb{R}, \) dan gid \( :\left(\lambda_{u}\right)_{0}+\left(\lambda_{1}\right)_{2}+\nu\left(\lambda_{0}\right)_{2} \)
\( =\lambda(4,14,+24,) \)
" Wall \( \lambda_{u} \in V \), \( \lambda \). \( V \) dent en lan undrand

 ich habe hier noch ein Bild angefügt,wie ich das jetzt gemacht habe.

Answer 1

Aloha :)

Linearität:$$\left(\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right)(\vec x+\vec y)=\left(\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+y_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)$$$$\quad=\left(\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right)\vec x+\left(\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right)\vec y$$

Skalarprodukt:$$\left(\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right)(\lambda\vec x)=\left(\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\lambda x_1\\\lambda x_2\\\lambda x_3\end{array}\right)=\lambda x_1+\lambda x_2+2\lambda x_3=\lambda(x_1+x_2+2x_3)$$$$\quad=\lambda\left(\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\lambda\left(\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right)\vec x$$

Comments

Hallo,

Danke für die Antwort, aber ist der Vektor nicht (1,1,2)?

Und danke für die schnelle Antwort

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kann man hier irgendwie Bilder hochladen ?

ich hab das jetzt etwas anders gemacht

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Ja stimmt, ich habe mich verguckt. Vor dem \(x_2\) steht nichts... meine Brille ist schuld ;) Aber die Rechnung bleibt identisch... Ich korrigiere das trotzdem noch.

Bilder kannst du mit Copy-Paste einfügen.

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ok,ich habe ein bild unter der frage angehängt,so hab ich das gestern gerechnet bzw. versucht, ist das so auch richtig ?

So ungefähr wurde es im Übungsblatt vorgerechnet.

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Ja, so kann man es auch zeigen. Du musst halt die Linearität und das Skalarprodukt betrachten. Streng genommen, muss man noch zeigen, dass der Raum abgeschlossen ist und nicht die leere Menge ist, aber das ist hier klar.