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Aufgabe:

a) Zeigen Sie, dass  U={(0,x2,x3,x4)T |x2+x3+x4=0}

ein linearrer Unterraum des R4 ist.

b) Geben Sie eine Orthonormalbasis von U und von seinem Lotraum U an.

c) Geben Sie die Koordinaten des Vektors (1,1,1,1)T bzgl. der Aus den Orthonormalbasen für U und U gebildeten Orthonormalbasis des R4 an.


Problem/Ansatz:

Leider wissen meine Mathegruppe und ich hier keinen Rat. Weil das am letzten Montag dran gewesen wäre. Könnte es uns jemand Schrittweise erklären damit ich das meiner Gruppe dann erklären kann. Danke

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a) Zeigen Sie, dass  U={(0,x2,x3,x4)T |x2+x3+x4=0}

ein linearer Unterraum des R4 ist.

z.B. definierende Eigenschaften nachweisen.

Kann man b) nicht einfach hinschreiben? 

Ich glaube nicht, dass man b) einfach hin schreiben kann. Wüsste halt nicht wie man das da direkt ablesen sollte. Und zu a) einfach nur die defintion hinschreiben scheint mir zu banal https://de.wikipedia.org/wiki/Untervektorraum aber das weiß ich eben nicht

Ich sage mal b2) Also:

Kann man b2) nicht einfach hinschreiben?

BU⊥ = {{1,0,0,0}, 1/√(3) * {0,1,1,1)} = {{1,0,0,0}, {0,1/√3,1/√3,1/√3)}

Kontrolliere das irgendwie.

wie bist du darauf denn gekommen? ich kann das leider nicht nachvollziehen was du gemacht hast.

1 Antwort

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a) ist ja wohl klar

b) Hier brauchst du eine Basis des Lösungsraumes von x2+x3+x4=0

Du wählst x3=s und x4=t beliebig und hast dann x2 = -s-t, also

x = ( 0 ; -s-t; s ; t ) ^T

  = ( 0 ; -s ; s ; 0 ) ^T +  ( 0 ; -t ; 0 ; t ) ^T

 = s *  ( 0 ; -1 ; 1 ; 0 ) ^T + t* ( 0 ; -1 ; 0 ; 1 ) ^T

Also hast du zwei Basisvektoren für U, die sind aber nicht

orthogonal (Skalarprodukt ist nicht 0) und musst zu ( 0 ; -1 ; 1 ; 0 ) ^T

einen von der Form  ( 0 ; -s-t; s ; t ) ^T  finden, der dazu

orthogonal ist. Das gibt s + t + s = 0  also

    t = -2s also ist ( 0 ; 1 ; 1 ; 1 ) ^T  der zweite.

noch normieren:

==> U = <  ( 0 ; -1/√2 ; 1/√2 ; 0 ) ^T + t* ( 0 ; 1/√3 ; 1/√3 ; 1/√3 ) ^T  >

Für  U^T  musst du Basisvektoren finden, die zu beiden Basisvektoren

von U orthogonal sind, für die also gilt

-x2 + x3 = 0   und  x2 + x3 + x4 = 0

==>  2x3 + x4 = 0   und  2x2 + x4 = 0

Also kann x1 beliebig sein und mit x4 = s folgt

                    x3= -s/2 und x4=-s/2 also

sind die Lösungen ( t , -s/2 ; -s/2 ; s )

Ein Basisvektor also  ( 1;0;0;0 ) ^T und dazu orthogonal

                     ( 0 ; 1 ; 1 ; -2 ) ^T

Den zweiten noch normieren gibt

U^T = <  ( 1;0;0; 0 ) ^T + t* ( ; 1/√6 ; 1/√6 ;-2/√6 ) ^T  >.

Die Basis für c) ist also

<  ( 0 ; -1/√2 ; 1/√2 ; 0 ) T + t* ( 0 ; 1/√3 ; 1/√3 ; 1/√3 ) T  >


Für  UT  musst du Basisvektoren finden, die zu beiden Basisvektoren 


von U orthogonal sind, für die also gilt 


-x2 + x3 = 0   und  x2 + x3 + x4 = 0 


==>  2x3 + x4 = 0   und  2x2 + x4 = 0 


Also kann x1 beliebig sein und mit x4 = s folgt 


                    x3= -s/2 und x4=-s/2 also 


sind die Lösungen ( t , -s/2 ; -s/2 ; s ) 


Ein Basisvektor also  ( 1;0;0;0 ) T und dazu orthogonal 


                     ( 0 ; 1 ; 1 ; -2 ) T 


Den zweiten noch normieren gibt 


U^T = <  ( 1;0;0; 0 ) T ;  (0 ; 1/√6 ; 1/√6 ;-2/√6 ) T  >

Die Basis für c) ist also

{  ( 1;0;0; 0 ) T ;  (0 ; 1/√6 ; 1/√6 ;-2/√6 ) T ; ( 0 ; -1/√2 ; 1/√2 ; 0 ) T + t* ( 0 ; 1/√3 ; 1/√3 ; 1/√3 ) T  }

Die Koordinaten (a,b,c,d)  liefert das Gl.system

1      0           0           0        1
0     1/√6     -1/√2     1/√3     1
0      1/√6     1/√2     1/√3     1
0      -2/√6       0        1/√3     1

Das gibt a=1 b=0 c=0  d=√3

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okay danke dir und für a gehe ich an sich ja dann wirklich nur die defintion durch?

Dein Vektor ( 0 ; 1 ; 1 ; 1 ) T   ist falsch. Es muss ( 0 ; 1 ; 1 ; -2 ) T  heißen.

Auch diese Schreibweise halte ich für bedenklich:

==> U = <  ( 0 ; -1/√2 ; 1/√2 ; 0 ) T + t* ( 0 ; 1/√3 ; 1/√3 ; 1/√3 ) T  >

Wofür stehen die eckigen Klammern?

meinst du <>? die stehen für skalar

Skalarprodukt kann nicht sein. Ich glaube, er meint die lineare Hülle.

Dann müsst es aber heißen:

U= Span ( ( 0 ; -1/√2 ; 1/√2 ; 0 ) T , ( 0 ; 1/√6 ; 1/√6 ; -2/√6 )T)

< … >  sollte für "lineare Hülle " bzw. "Span" stehen.

Ich glaube aber dann, es ist nicht richtig, es so zu schreiben.

ja stimmt mathef hat recht das war die lineare hülle und ich hab es so in der vorlesung kennengelernt

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