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Hallo, ich habe folgende Frage.

Gegeben sind die lineare Funktion f(x)= ax+b , x≤0, a≠0 und die Funktion g mit der Funktionsgleichung g(x)= 0,5e^-2x ,x≥0


1: Berechnen Sie die Parameter a und b der Funktion f so, dass die Graphen von f und g an der Stelle x=0 knickfrei ineinander übergehen.

Muss ich die beiden Gleichungen dafür gleichsetzten und dann nach a und b auflösen?

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Knickfrei gehen die Funktionen dann ineinander über, wenn f'(x) = g'(x)

Bedeutet also, dads ich beide ableiten muss, also:

f'(x) = g'(x)

a = -e^ -2×


Wie komme ich dann auf b?

3 Antworten

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f(x) soll dann die Tangende an den Graphen von g(x) an der Stelle a = 0 sein.

Dann braucht man

a = 0

g(a) = 0.5

g'(a) = -1

Und damit lautet die Tangente

f(x) = g'(a) * (x - a) + g(a)

f(x) = -1 * (x - 0) + 0.5 = -x + 0.5

Skizze

~plot~ 0.5*exp(-2x);0.5-x;[[-2|2|-1.5|1.5]] ~plot~

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Du musst die Funktionen und die ersten Ableitungen gleich setzen. Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Avatar von 39 k

Okay, ich verstehe schon was gemeint ist, aber ich habe wirklich keinen Plan, wie ich das dann auflösen soll...

$$ f(0) = b = g(0) = \frac{1}{2} $$ und

$$ f'(0) = b = g'(0) = -1 - 2 = -3  $$

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Bedingung für einen stoßfreien Übergang:

1) beide Funktionswerte sind  gleich f(x)=g(x)

2) beide Funktionen haben die selbe Steigung m=a=g´(x)

Das ist dann die Tangentengleichung an der Stelle xo=0

Tangentengleichung ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

f(x) ist hier g(x)=0,5*e^(-2*x) abgeleitet g´(x)=-1*e^(-2*x)  mit xo=0

g(0)=0,5*e^(-2*0)=0,5*1=0,5

g´(xo)=g´(0)=-1*e^(-2*0)=-1*1=-1

eingesetzt

ft(x)=-1*(x-0)+0,5=-1*x+1*0+0,5

yt=ft(x)=-1*x+0,5 also a=m=-1 und b=0,5

Hier Infos per Bild,vergrößern und/oder herunterladen

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