Berechne die Matrix A^n

Question

Hi, kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen:

es gibt bereits einen Forumsbeitrag zu einer 3x3 Matrix und ich habe probiert es analog auzuführen, doch komme ich zwar auf Eigenwerte, aber keine Eiggenvektoren

https://www.mathelounge.de/11817/matrix-potenzieren-allgemeine-formel-basis-eigenvektoren

Betrachten Sie die folgende 5 × 5 Matrix:

A =

1 0 −1 1 −1
0 1 1 −1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1

.
Berechnen Sie An für alle n ∈ N.
Hinweis: Stellen Sie die Matrix A in der Form A = I5 + B dar.

Comments

Schau dir doch mal den Hinweis an...

A=I+B

Wie sieht \( (I+B)^n \) aus? (Vgl. Binomischer Lehrsatz)

Wie sieht \( I^k \), wie \( B^k \) für k=1,2,3 aus? Wie für allgemeine k?

Das fügst du dann beides zusammen. Diagonalisieren würde ich hier nicht.

---

Vom Duplikat:

Titel: A^n für alle n der natürlichen Zahlen - 5x5 Matrix

Stichworte: matrix,potenzen,dreiecksmatrix

\(A =\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1&-1&0 \\0&0&1&0&1 \\0&0&0&1&0 \\0&0&0&0&1  \end{pmatrix}\)

Berechne Aⁿ für alle n ∈ N.
Hinweis: Stellen Sie die Matrix A in der Form A = I₅ + B dar.

Meine Frage zu dieser Aufgabe ist wie man da vorzugehen hat.

Ist mit der Form A = I₅ + B gemeint, dass man die n-te Potenz dann als Summe des Einheitsvektors mit der Matrix B ( bestehend aus was?) darstellen soll?

Answer 1

Mit B =

0   0    -1    1    -1 
0   0      1   -1    0
0   0      0    0     1
0   0      0    0     0
0   0      0    0     0

ist B^2 gleich

0     0    0    0     -1 
0     0    0    0      1
0   0      0    0     0
0   0      0    0     0
0   0      0    0     0

und die höheren Potenzen von B sind

immer die 0-Matrix.

Also bleibt bei ( I + B ) ^n von binomischen Satz nicht viel

I^n  +  n*I^(n-1)*B + n*(n-1)/2 * I^(n-2)*B^2 also ist das

I    +   n*B          + n*(n-1)/2 *B^2 also so:

1    0     -n    n     -n-n(n-1)/2
0     1     n   -n        n(n-1)/2 
0     0     1     0       n
0     0     0     1        0
0     0     0     0        1

Answer 2

Hallo,

Ist mit der Form A = I5 + B gemeint, dass man die n-te Potenz dann als Summe des Einheitsvektors mit der Matrix B ( bestehend aus was?) darstellen soll?

Dann stünde dort

A^n =I_5 +B

Das ist aber nicht der Fall.

Du sollst

A^n = (I_5 +B)^n mit dem binomischen Lehrsatz ausrechnen.

Answer 3

Hallo

B ist die Matrix wenn du die Diagonale weglässt  dann (I5+B)^2=I5+2B+B^2 weil I*B=B*I=B

 dann so weiter. B^2 musst du schon ausrechnen. (Korrektur durch Matrizenrechner im Netz )

Gruß lul