Aloha :)
$$I:=\int\limits_0^\pi\sin\left(\frac{x}{2}\right)\sqrt{1+\cos x}\,dx$$Ich veruche mal deine Substituionen nachzuvollziehen.
$$u:=\frac{x}{2}\quad;\quad\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}\quad;\quad u(0)=0\quad;\quad u(\pi)=\frac{\pi}{2}$$$$I=\int\limits_0^{\pi/2}\sin u\cdot\sqrt{1+\cos(2u)}\,2du=2\int\limits_0^{\pi/2}\sin u\cdot\sqrt{1+\cos^2u-\sin^2u}\,du$$$$\phantom{I}=2\int\limits_0^{\pi/2}\sin u\cdot\sqrt{2\cos^2u}\,du=2\sqrt2\int\limits_0^{\pi/2}\sin u\,\cos u\,du$$Wegen \(\int f'(x)\cdot f(x)\,dx=\frac{1}{2}f^2(x)\) wärst du jetzt eigentlich schon fertig.
Die nächste Substitution war:$$z:=\sin u\quad;\quad\frac{dz}{du}=\cos u\quad;\quad z(0)=0\quad;\quad z\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$$$$I=2\sqrt2\int\limits_0^1z\cos u\,\frac{dz}{\cos u}=2\sqrt2\int\limits_0^1z\,dz=2\sqrt2\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^1=\sqrt2$$
