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Ich habe folgende Matrix:

-3-1-2-2-1
3-2212
01-110
-1-1-2-4-1
21330


Mir fällt nur der Laplace'scher Entwicklungssatz ein, damit hätte ich aber einen riesigen Rechenaufwand. Es muss doch bestimmt eine einfachere Methode geben oder?

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Hallo

 wer stellt dir so ne grausige Aufgabe? Ich denke es gibt keinen Königsweg, benutze einen online Matrizenrechner.

Gruß lul

Ein grausiger Professor. Ich weiß auch nicht was der sich dabei gedacht hat...

3 Antworten

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Aloha :)

Führe folgende Spaltenoperationen durch:$$\left|\begin{array}{r}-S_5 & +S_5-S_4 & -S_4 & -S_3 & -S_1\\\hline-3-x & -1 & -2 & -2 & -1\\3 & -2-x & 2 & 1 & 2\\0 & 1 & -1-x & 1 & 0\\-1 & -1 & -2 & -4-x & -1\\2 & 1 & 3 & 3 & -x\end{array}\right|$$$$\left|\begin{array}{r}-2-x & 0 & 0 & 0 & 2+x\\1 & -1-x & 1 & -1 & -1\\0 & 0 & -2-x & 2+x & 0\\0 & 2+x & 2+x & -2-x & 0\\2+x & -2-x & 0 & 0 & -2-x\end{array}\right|$$Aus der 4-ten und 5-ten Spalte ziehen wir jeweils den Faktor (-1) vor die Determinante, was ihren Wert, wegen \((-1)\cdot(-1)=1\), nicht ändert:$$\left|\begin{array}{r}-2-x & 0 & 0 & 0 & -2-x\\1 & -1-x & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & -2-x & -2-x & 0\\0 & 2+x & 2+x & 2+x & 0\\2+x & -2-x & 0 & 0 & 2+x\end{array}\right|$$Die Determinante ist gleich Null, wenn sie zwei linear abhängige Reihen (Zeilen oder Spalten) hat. Für \(x=-2\) erhalten wir 5 identische Spalten:$$\left|\begin{array}{r}0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|$$Daher ist \(x=-2\) fünffacher Eigenwert der Matrix.

Avatar von 148 k 🚀
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Also wenn man es rechnen läßt isses gar net so schlimm ;-)


\(\scriptsize A5 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrrr}-1&-1&-2&- \lambda  - 4&-1\\0&1&- \lambda  - 1&1&0\\0&0&- \lambda  - 2&-2 \;  \lambda  - 4&- \lambda  - 2\\0&0&0&- \lambda ^{2} - 4 \;  \lambda  - 4&- \lambda ^{2} - 4 \;  \lambda  - 4\\0&0&0&0&- \lambda ^{2} - 4 \;  \lambda  - 4\\\end{array}\right)\)

Die vermutlich ganze Story passt grad zu einem Worksheet

https://de.smath.com/cloud/worksheet/W6XoxVZh

Avatar von 21 k
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Hallo,

du kannst versuchen, diese Matrix durch orthogonale Zeilen- und Spalten-Operationen auf Dreiecksgestalt zu bringen.



Mister

Avatar von 8,9 k

Hallo mister,

warum bleiben dann die Eigenwerte und Eigenvektoren gleich?

oder was sind orthogonal Zeilenumformungen?

lul

Wie soll man eine solche Umformung erraten?

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