Anordnungsfunktion von Mengen

Question

Meine Aufgabenstellung lautet wie folgt:
Sei X eine Menge von n paarweise verschiedenen Elementen (n ∈ ℕ). Sei ≤ eine totale Ordnungsrelation auf X. Zeigen Sie: es gibt eine monotone Abbildung (ℕ_n, ≤) → (X, ≤) (d.h. eine Anordnung von X)

Es gilt ℕ\{0}.

Ich weiß nicht so richtig wie ich das beweisen soll, für Tipps und Anregungen wäre ich sehr dankbar :D

Answer 1

Sei f: (X, ≤) → (ℕ_n, ≤)  mit f(x) = |{y ∈ X | y ≤ x}| für jedes x ∈ X.

Dann ist f^-1 die gesuchte Funktion.

Es gilt ℕ\{0}.

Das ergibt keinen Sinn. ℕ\{0} ist keine Aussage, sondern eine Menge.

Comments

Danke dir auf jeden Fall schonmal, aber eine Frage hätte ich dann doch noch: Könntest du mir noch einmal genau die Definition einer "monotonen Abbildung" erläutern? Bisher waren mir immer nur die Begriffe monoton steigend oder monoton fallend bekannt.

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Eine Abbildung ist monoton, wenn sie monoton steigend oder monoton fallend ist.

Zum Beispiel sind x ↦ x³ und x ↦ -2x monoton auf ℝ, aber x ↦ x² nicht.

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Alles klar, aber wie berechne ich nun die Umkehrfunktion? Nach x umstellen wird ja hier relativ schwierig oder?

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Nach x umstellen ist hier relativ schwierig.

Ich weiß aber nicht so ganz, warum du die Umkehrfunktion berechnen willst.

Du sollst nur zeigen, dass es eine Funktion mit den genannten Eigenschaften gibt. Dazu brauchst du die Funktion nicht zu berechnen.

Was allerdings für den Beweis noch fehlt ist:

        Warum existiert f^-1 überhaupt?

        Warum ist f^-1 monoton?

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Achso, naja ich dachte dass das zum Beweis gehören würde, aber wenn das nicht unbedingt notwendig ist, ist das ja vollkommen in Ordnung.

Also ich würde sagen da die Abbildung ja im Prinzip die Identität von x abbildet ist sie definitv monoton steigend oder?

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im Prinzip die Identität von x abbildet

Ich weiß nicht, was du damit meinst.

Du musst für den Beweis der Monotonie schon genau auf die Eigenschaften einer totalen Ordnungsrelation eingehen.