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Hallo, ich wollte Fragen ob es einen Satz gibt bzw. ob die behauptung richtig ist das eine Konstante Funktion Differenzierbar ist bzw. einmal Differenzierbar, da die Ableitung ja 0 ist?

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f(x)=0 ist auch eine konstante Funktion - weshalb sollte eine konstante Funktion, die nicht Null ist, nur einmal differenzierbar sein?

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Stimmt das ist ja offensichtlich falsch. Es ging ursprünglich um eine Aufgabe in der man zeigen sollte, dass die erste Ableitung dann f(x)=0 ist.

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Hallo,

allgemein gilt:

Eine Funktion \(f(x)\) ist an der Stelle \(x_0\) ihres Definitionsbereichs differenzierbar, wenn der Differentialquotient existiert:

$$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Dieser existiert, wenn gilt: $$\lim_{x \to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\;=\;\lim_{x \to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Im Falle einer konstante Funktionen \(f(x)=c, ~c\in \mathbb{R}\) gilt ja einfach:

$$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{c-c}{x-x_0}=0.$$

Deswegen ist jede konstante Funktion differenzierbar, und das sogar unendlich oft, weil das ganze natürlich auch für \(f(x)=0\) geht. Falls du mehr zum Thema Differenzierbarkeit lesen willst, kann ich dir diese Zusammenfassung empfehlen: https://de.serlo.org/mathe/funktionen/grenzwerte-stetigkeit-differenzierbarkeit/differenzierbarkeit/differenzierbarkeit.

Gruß,

FDF

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