Beweis von det(A)=0 <=> A*B=0?

Question

Hallo,

ich soll die Äquivalenz für die folgenden zwei Aussagen zeigen, dabei seinen A und B nxn-Matrizen mit Einträgen aus dem Körper K.

(1) Es gilt det(A)=0

(2) Es gibt eine Matrix B, welche nicht die Nullmatrix ist, mit A*B=0 (wobei 0=Nullmatrix)

ich habe keine Ahnung wie ich hierbei vorgehen soll und bin deswegen schon halb am verzweifeln... Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Liebe Grüße,

Lorena alias Wolfy

Comments

Vom Duplikat:

Titel: det(A)=0, dann AB = 0?

Stichworte: determinante

ich soll zeigen, dass beide Aussagen äquivalent sind:

1.) det(A) = 0

2.) es gibt eine Matrix B (n x n), sodass AB = 0

Ich finde leider keinen geeigneten Ansatz, außer ein paar Beispielen für n = 2.

kann mir eventuell jemand auf die Sprünge helfen?

:D

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Frage erledigt? Doppelaccount?

Answer 1

Für (1) auf (2)

Wenn det A = 0 existiert ein Vektor x ungleich 0 mit Ax=0 (Warum?) Was passiert wenn du diesen Vektor jetzt einfach n mal nebeneinander in die Spalten von B schreibst?

Für (2) auf (1):

Sei B so eine Matrix mit AB=0. Angenommen det A ≠ 0. Was weißt du dann über die Matrix A?

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Sehr schöne Idee...!