Nach Def. gilt ja wohl
[a]={x∈S | (a,x) ∈ R } #
( oder (x,a) ∈ R., aber da Äquivalenzrelationen symmetrisch sind,
bedeutet das ja beides das Gleiche.)
Seien als a,b ∈ S mit [a] = [b]
Wegen der Reflexivität von R gilt jedenfalls
a ∈ [a] und b∈ [b] . Weil beide Klassen gleich sind also
auch b ∈ [a] . Wegen # ist also das b so ein x mit (a,x) ∈ R ,
also (a,b) ∈ R ,
Andere Richtung: Seien a,b ∈ S mit (a,b) ∈ R ,
Wegen der Symmetrie von R also auch (b,a) ∈ R ,
Wegen # somit a ∈ [b] und b∈ [a].
Zum Nachweis der Gleichheit muss man ja zeigen:
Für alle x ∈ [b] gilt x∈ [a] und
für alle x ∈ [a] gilt x∈ [b] .
Das erste wohl so: Sei x ∈ [b] , also (b,x) ∈ R
Wegen # gilt b∈ [a] also (a,b) ∈ R
Wegen der Transitivität von R also (a,x) ∈ R,
also x ∈ [a].
In der Art bekommst du auch den 2. Teil hin !
