Eine Rampe soll im Punkt B(u|f(u)) in einen Hügel münden.Bestimmen Sie u so, dass die Rampe möglichst steil wird.

Question

Das Schaubild K der Funktion mit f(x)=1/8(x³ - 8x²+16x) beschreibt zwischen dem Ursprung O und dem Punkt P(4|f(4)) das Geländeprofil in einem Baugebiet. Das angrenzende Gelände verläuft von O aus horizontal bis zum Punkt R(-2|0).

Von R ausgehen soll eine Rampe angelegt werden und im Punkt B(u|f(u)) in den Hügel münden. Bestimmen Sie u so, dass die Rampe möglichst steil wird.

(Bemerkung: Bei "möglichst steil" verläuft der Übergang von Rampe und Gelände ohne Knick.)

Kann mir das mal eben jemand erklären? Steig da nicht so ganz durch.

Answer 1

Du sollst u so bestimmen, dass die Tangente an K an der Stelle u durch den Punkt R verläuft. Das ist nicht sooo schwierig, erfordert nur ein wenig Rechnerei.

Bestimme zunächst die Steigung m der Tangente an der Stelle u, also

m = f ' ( u )  = ( 3 / 8 ) u ² - 2 u + 2

Dies setzt man zusammen mit den Koordinaten des Punktes R ( x | y ) = ( - 2 | 0 ) in die Punktsteigungsform einer Geraden ein. Diese lautet:

y = m ( x - x₀ ) + y₀

wobei x₀ bzw. y₀ hier u bzw. f ( u ) ist. Also:

0 = ( ( 3 / 8 ) u ² - 2 u + 2 ) * ( - 2 - u ) + ( 1 / 8 ) ( u ³ - 8 u ² + 16 u)

Ausmultilplizieren und Zusammenfassen ergibt:

0 = u ³ - u ² - 16 u + 16

Man sieht sofort, dass u = 1 eine Lösung dieser Gleichung ist. Polynomdivision ergibt

u ³ - u ² - 16 u + 16 = ( u - 1 ) * ( u ² - 16 ) 

Der Faktor u ² - 16 kann mit Hilfe der dritten binomischen Formel zu ( u + 4 ) * ( u - 4 ) faktorisiert werden, sodass die Produktdarstellung von u ³ - u ² - 16 u + 16 also lautet:

u ³ - u ² - 16 u + 16 = ( u - 1 ) * ( u + 4 ) * ( u - 4 )

Die Lösungen der Gleichung

0 = u ³ - u ² - 16 u + 16

sind also:

u = - 4 , u = 1 , u = 4

An diesen Stellen berührt eine Gerade durch den Punkt R ( - 2 | 0 ) den Graphen von f ( x ), iat also dort Tangente an diesen Graphen.

Am steilsten ist sie an der Stelle, an der f ' ( u ) am größten ist, wobei die Stelle - 4  entfällt, da sie nicht im geforderten Bereich 0<= u <= 4 liegt. Für die beiden anderen Stellen gilt:

f ' ( 1 ) = ( 3 / 8 ) - 2 + 2 = 3 / 8

f ' ( 4 ) = ( 3 / 8 ) * 4 ² - 2 * 4 + 2 = 0

Am größten ist die Steigung von f ( x ) also an der Stelle u = 1.

Dort liegt der höchste Punkt der Rampe und zwar in einer Höhe von f ( u = 1 ) = 9 / 8

Comments

Hi, danke für die Antwort. Ist gut erklärt, aber ich verstehe nicht warum du die 3/8 in Klammern stehen hast. Könntest du mir das erläutern?

Gruß

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Ach und noch eine Frage:

Ausmultilplizieren und Zusammenfassen ergibt:

0 = u ³ - u ² - 16 u + 16 <---- Da hast du *(-4) damit das rauskommt oder?

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aber ich verstehe nicht warum du die 3/8 in Klammern stehen hast.

Ich schreibe hier bei Mathelounge alle Brüche in Klammern, wenn davor oder danach noch weitere Operationen folgen. Denn wenn ich die Klammern wegließe, also etwa statt

( 3 / 8 ) - 2

einfach

3 / 8 - 2

schriebe, dann könnte ein Leser auf die Idee kommen, ich würde vielleicht 

3 / ( 8 - 2 )

meinen. Um derartige Fehlinterpretationen von vornherein auszuschließen, schreibe ich Brüche immer in Klammern, sofern sie nicht alleine dastehen.

 

0 = u ³ - u ² - 16 u + 16 <---- Da hast du *(-4) damit das rauskommt oder?

So ist es. Vielleicht hätte ich diesen Schritt noch extra hinschreiben sollen ....

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Gern geschehen. Es freut mich, dass du offenbar alles nachvollziehen konntest :-)